לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===דוגמאות ודוגמאות נגדיות === 1. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> : א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות). ב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי <math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math> ג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math> (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math> ד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב (לפי הסעיף הבא). 2. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>. הוכחתם בהרצאה כי <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> הוא תת מרחב 3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>: א. המטריצות מסוג <math>W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math> הן תת מרחב. נוכיח : # ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math> # לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> כולה אפסים פרט (אולי) למקום <math>1,1</math> וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של <math>A_1,A_2</math> ב. המטריצות הסימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\}</math> והמטריצות האנטי-סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}</math> שתיהן תתי מרחב. הוכחה (עבור הסימטריות) # ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math> # לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> סימטרית. נתון כי <math>A_1^t=A_1,A_2^t=A_2</math>. כעת מחוקי שיחלוף נקבל כי <math>(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2</math>. ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}</math> '''אינו''' תת מרחב כי המטריצות <math> A_1 = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) A_2= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) </math> שייכות ל <math>W</math> אבל החיבור שלהם לא. ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב. ה. המטריצות <math>W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\}</math> הן תת מרחב הוכחה # ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math> # לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שעקבה של המטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> שווה 0. נתון כי <math>tr(A_1)=tr(A_2)=0</math>. כעת מחוקי עקבה נקבל כי <math>tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0</math>. 4. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> . א. <math>W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}</math> הינו תת מרחב כי באופן כללי <math>\mathbb{R}_{n}[x]</math> הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים). ב. <math>W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\}</math> הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב <math>V</math> לא נמצא ב<math>W</math> .
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)