לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== מרחב העמודות === את מרחב העמודות ניתן למצוא כמו את מרחב השורות ע"י מעבר ל <math>A^{t}</math>. נראה ע"י דוגמא עוד דרך: דוגמא: מצא את מרחב העמודות של <math>A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right)</math> פתרון: אחרי דירוג קיבלנו <math>\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)</math> ניתן להוכיח את הטענה: מרחב העמודות נפרש ע"י העמודות במטריצה המקורית שמתאימות לעמודות ציר. אצלנו בדוגמא שעמודות הציר הן עמודות מספר 1 ו - 2 נקבל כי מרחב העמודות הוא <math>C(A)=span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 3 \end{array}\right)\} </math> שימו לב שזה לא שווה למה שנפרש ע"י עמודות הציר של המטריצה המדורגת (כלומר מרחב העמודות "מתקלקל" בדירוג): <math> C(A) \not= span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0 \end{array}\right)\} </math> כי <math> \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\notin span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0 \end{array}\right) </math> תרגיל: נסו להוכיח את הטענה שהשתמשנו בה בתרגיל. טענה: מרחב העמודות <math>C(A)=span \{C_{i_1}(A),\dots C_{i_r}(A)\}</math> כאשר <math>i_1,\dots i_r</math> אלו עמודות הציר במטריצה המדורגת. הדרכה: השתמשו בעבודה <math>E</math> המטריצה המדרגת הפיכה ולכן בתליות ופרישה של עמודות לא מתקלקלים... (ניסוח לא פורמאלי) '''משפט:''' <math>dim[R(A)]=dim[C(A)]</math> '''הגדרה:''' הדרגה של <math>A</math> מוגדרת להיות <math>rank(A)=dim[R(A)]</math> ====אבחנה: מימדי מרחבים המטריצה והדרגה==== תהי <math>A</math> מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו): *דרגת המטריצה *מימד מרחב העמודות *מימד מרחב השורות *מספר השורות השונות מאפס בצורה הקנונית *מספר האיברים הפותחים *מספר עמודות הציר *מספר המשתנים התלויים המספרים הבאים שווים: *מספר המשתנים החופשיים *מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות. כלומר '''משפט''' (הדרגה עבור מטריצות) עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>rank(A)+\dim N(A) = n</math> זיכרו זאת, בהמשך נוכיח משפט הדרגה הכללי ====תרגיל==== יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times p}</math> מטריצות הוכח: <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math> הוכחה: ש"ל <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math> נסמן <math>\{a_{1},\dots,a_{l}\}</math> בסיס למרחב העמודות. בנוסף <math>C(AB)=span \{C_1(AB),\dots , C_p(AB)\}=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}</math> כיוון שלכל <math>i</math> מתקיים כי <math>AC_{i}(B)</math> הוא צ"ל של עמודות <math>A</math> מקבלים ש <math>C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}\subseteq span\{a_{1},\dots,a_{l}\}=C(A)</math> ולכן <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>. באופן דומה <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math> (בעזרת <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>) מסקנה: יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ו - <math>B</math> הפיכה אזי <math>rank(AB)=rank(A)</math> הוכחה: <math>rank(A)=rank(ABB^{-1})\leq rank(AB)\leq rank(A)</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)