לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==איברים מיוחדים== '''הגדרות.''' יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה: *איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינמלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו. *איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו. *איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר קטן ביותר/מינימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה) *איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר גדול ביותר/מקסימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B) מינוח/סימון: עבור קבוצה A נסמן לעיתים יחס סדר ב <math>\leq</math>. לא להתבלבל עם ה"קטן שווה" ה"רגיל"!. אם A קבוצה ו <math>leq</math> יחס סדר עליה, נסמן <math>(A,\leq)</math> ונקרא ל A קבוצה סדורה חלקית. עוד נאמר במקרה זה כי איבר x קטן שווה מאיבר y אם מתקיים <math>x\leq y</math> הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום. הערה: מינימום <math>\leftarrow</math> מינימלי, וכן מקסימום <math>\leftarrow</math> מקסימלי, ולא להיפך! ====דוגמא==== נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי: <math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math> (הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם) *5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים. *4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי *2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום. ==== תרגיל ==== תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מיני' יחיד אזי הוא איבר קטן ביותר ==== תרגיל ==== תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מינימאלי יחיד ו y מקסימאלי יחיד אזי <math>x\leq y</math> ==== תרגיל ==== תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה סופית לא ריקה. הוכיחו: קיים איבר מינימאלי. =====פתרון===== באינדוקציה על גודל הקבוצה <math>|A|=n</math>. עבור <math>n=1</math> האיבר מינימאלי. נניח נכונות עבור <math>|A|=n-1</math> ותהא <math>|A|=n</math>. קיים <math>a\in A</math>, ונתבונן בקבוצה הסדורה <math>(A\smallsetminus \{a\},\leq )</math>, שם יש מינימאלי שנסמנו <math>b</math>. נחזור כעת ל-<math>A</math>. נחלק למקרים: אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math>: יהי <math>y\in A</math>, כך ש- <math>y\leq b</math>, ונראה <math>y=b</math>: אכן, מההנחה נקבל <math>y\neq a</math>, ולכן <math>y\in A\setminus \{a\}</math>, ומכיון ש-b מינימלי שם נקבל <math>y=b</math>. אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. יהי <math>y\leq a</math>, ונניח בשלילה <math>y\neq a</math>. לכן <math>y\in A\setminus \{a\}</math>. כעת מטרנזיטיבות נקבל <math>y\leq b</math>, וממינימליות b נקבל <math>y=b</math>. בסה"כ יש לנו <math>a\leq b\land b\leq a</math>, ומאנטי-סימטריות נקבל <math>a=b</math> בסתירה (כי <math>b\in A\setminus \{a\}</math>). ===הגדרה=== יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר קווי/לינארי'''. ====תרגיל==== יהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית. הוכיחו כי אם x מינמאלי אז x קטן ביותר. =====פתרון===== יהא <math>y\in A</math> צ"ל: <math>x\leq y</math>: מהעובדה שהיחס לינארי נקבל <math>x\leq y\lor y\leq x</math>. נחלק למקרים: 1. אם <math>x\leq y</math> סיימנו. 2. אם <math>y\leq x</math> אז לפי הגדרת מינימליות (ונתון ש- <math>x</math> מינימלי) נקבל <math>x=y</math> ולכן <math>x\leq y</math> .
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)