לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-212 תשעב סמסטר ב/תקצירי הרצאות
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== הרצאה רביעית === החיתוך של משפחת תת-חוגים הוא תת-חוג. עובדה זו מאפשרת להגדיר את "תת-החוג הנוצר (מעל לתת-חוג ידוע) על-ידי קבוצת אברים נתונה". בדומה לזה החיתוך של משפחת אידיאלים שמאליים הוא אידיאל שמאלי. החיתוך של משפחת אידיאלים הוא אידיאל. כידוע, איחוד של שתי תת-חבורות אינו יכול להיות תת-חבורה אלא במקרה הטריוויאלי (כאשר אחת מתת-החבורות מכילה את השניה). לכן איחוד של אידיאלים כמעט תמיד אינו אידיאל. לעומת זאת, איחוד על-פני שרשרת של אידיאלים, הוא אידיאל. סכום של אידיאלים (המוגדר כמו סכום של תת-חבורות) הוא אידיאל. (אבל סכום של תת-חוגים אינו בהכרח תת-חוג). מכפלה של קבוצות בחוג מוגדרת כאוסף הסכומים (הסופיים כמובן) של מכפלות מן הקבוצות: <math>\ AB = \{a_1b_1+\cdots+a_nb_n: a_i \in A, b_i \in B\}</math>. מכפלה של אידיאלים היא אידיאל. ביחס לכל אידיאל של חוג, אפשר להגדיר את [[חוג מנה|חוג המנה]] של הקוסטים <math>\ R/I = \{x+I: x \in R\}</math>. הכפל מוגדר היטב בדיוק בגלל ש-I אידיאל דו-צדדי. שאר האקסיומות נובעות בחינם מכך ש-R חוג בעצמו. [[הומומורפיזם של חוגים]] מוגדר בדומה לחבורות, כפונקציה מחוג אחד לאחר, השומרת על כל המבנה: החיבור (ולכן גם האפס והחיסור), הכפל ואיבר היחידה. '''שיכון''' הוא הומומורפיזם חד-חד-ערכי. איזומורפיזם הוא הומומורפיזם חד-חד-ערכי ועל (ולכן שיכון הוא איזומורפיזם של חוג אחד עם תת-חוג של חוג אחר). מתקיימים משפטי האיזומורפיזמים: (1) לכל הומומורפיזם <math>\ \varphi : R \rightarrow S</math> מתקיים <math>\ R/\operatorname{Ker}(\varphi) \cong \operatorname{Im}(\varphi)</math>. (2) לכל אידיאל I של חוג R, ולכל תת-חוג S של R, <math>\ (S+I)/I \cong S/(S \cap I)</math>. (3) לכל שני אידיאלים I,J של חוג R כך ש- <math>\ I \subseteq J</math>, חוגי המנה מקיימים <math>\ (R/I)/(J/I) \cong R/J</math>. לסיכום משפטים אלה, מתקיים '''משפט ההתאמה''' בין אידיאלים של החוג R המכילים אידיאל קבוע I, לבין אידיאלים של חוג המנה R/I. ההתאמה שומרת על כל דבר שאפשר להעלות על הדעת: הכלה, חיבור, כפל, חיתוך ומנות.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)