לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
89-214 סמסטר א' תשעה
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
= השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו') = '''תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי <math>|Z(G)|\neq p</math>. '''פתרון'''. נניח בשלילה כי <math>|Z(G)|=p</math>. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים <math>a \in Z(G)</math> שיקיים <math><a>=Z(G)</math>. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר <math>b \in G-Z(G)</math>. ננסה להראות כי <math>b</math> הזה מתחלף עם כל איברי <math>G</math>, ולכן <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לבחירת <math>b</math>. ראשית, נשים לב לכך שהסדר של <math>b</math> הוא <math>p</math>; אילו הסדר היה <math>p^2</math> אז <math>b</math> היה יוצר של כל <math>G</math>, ואילו הסדר היה <math>1</math> אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של <math>a</math> גם הוא <math>p</math>, באופן ברור. כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>. ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. '''(עד כאן היה בשיעור.)''' נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>. ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>. '''תרגיל'''. תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^2</math> (<math>p</math> ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית. '''פתרון'''. לפי התרגיל הקודם, <math>|Z(G)|\neq p</math>. לפי נוסחת המחלקות, <math>|Z(G)|\neq 1</math> (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', <math>|Z(G)| \mid p^2</math>, וביחד נקבל <math>|Z(G)|= p^2</math>. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, <math>Z(G)=G</math>, ו-<math>G</math> אבלית.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)