לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אי-שוויון הממוצעים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=שימושים= ==דוגמאות גאומטריות== ===היקפי מלבן וריבוע בעלי שטח זהה=== יהיו מלבן וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המלבן גדול מהיקף הריבוע. נסמן את שטח הצורות ב־s, ואת צלעות המלבן ב<math>a\ne b</math>. אזי היקף המלבן הוא <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הוא <math>4\sqrt{s}</math>. לפי אי־שוויון הממוצעים נקבל כי: :<math>2(a+b)=4\frac{a+b}{2}>4\sqrt{ab}=4\sqrt{s}</math> ====הכללה למקרה ה־n־ממדי==== סכום הצלעות (פאות מממד 1) של תיבה תלת־ממדית היא <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי :<math>4(a+b+c)=12\cdot\frac{a+b+c}{3}>12\sqrt[3]{abc}</math> ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת־ממדית בעלת אותו השטח כמו התיבה. כעת עבור תיבה n־ממדית, סכום הצלעות הוא <math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)</math>, אכן, צלע היא המעבר בציר i מ־0 ל־<math>a_i</math> כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם. :<math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)=n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math> אורך הצלע של הקוביה ה־n־מימדית בעלת שטח זהה לתיבה הוא <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>, וכמות הצלעות הינה <math>n2^{n-1}</math>. לכן שוב קיבלנו שסכום הצלעות התיבה גדול מסכום צלעות הקוביה. ===היקפי ריבוע ומשולש בעלי שטח זהה=== יהיו משולש וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המשולש גדול מהיקף הריבוע. נביט בבניית העזר הבאה: [[קובץ:AM-GM-trangle-square.png|1000px]] (נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].) שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים ל־<math>\frac{h\cdot a}{2}</math>. היקף המשולש הוא <math>a+b+c</math> והיקף המלבן <math>2(h+\frac{a}{2})=2h+a</math>, שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה <math>h=\frac{a}{2}</math>). כעת צלעות המשלוש גדולות או שווה לגובה, ולפחות אחת מהן גדולה ממש (במקרה שמדובר במשולש ישר זוית, הגובה שווה לאחת הצלעות). :<math>a+b+c>h+h+a=2h+a</math> ===המחשה גאומטרית לשלושת הממוצעים עבור 2 מספרים=== נביט בשרטוט הבא: [[קובץ:AM-GM-geometric.png|1000px]] (נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].) נניח כי אורך הקטע AD הינו a ואורך הקטע DB הינו b. הנקודה O הינה מרכז המעגל, שרדיוסו <math>\frac{a+b}{2}</math> הרי הוא הממוצע החשבוני. נרים את הגובה CD. נשים לב כי הזוית C היא ישרה כיוון שהיא מונחת על הקוטר, ולכן המשולשים ADC ו CDB דומים. מכאן <math>\frac{CD}{DB}=\frac{CD}{AD}</math>. לכן <math>CD^2=a\cdot b</math> וקיבלנו ש <math>CD=\sqrt{ab}</math> הרי הוא הממוצע ההנדסי. לבסוף, נעביר גובה DF, ונקבל כי המשולשים CFD ו CDO דומים. לכן <math>\frac{CF}{CD}=\frac{CD}{CO}</math> ולכן <math>CF=\frac{CD^2}{CO}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math> הרי הוא הממוצע ההרמוני. ===משולש שווה צלעות=== יהי משולש בעל צלעות באורך a,b,c. הוכיחו כי המשולש שווה צלעות אם ורק אם <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} =3</math>. ראשית, <math>\sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}\leq \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3}</math> ושיוויון אם"ם כולם שווים. לכן <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3</math> ושיוויון רק אם <math>\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}=1</math>, כלומר <math>a=b=c</math> ==כלל המנה== תהי סדרה חיובית <math>0<a_n</math> כך ש <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math>. ===הממוצע החשבוני=== תהי סדרה <math>a_n\to L</math> אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}\to L</math>. כלומר הממוצע החשבוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול. הוכחה עבור <math>L\in \mathbb{R}</math>: יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}</math> נסמן <math>M=|a_1-L|+...+|a_{n_1}-L|</math>. אזי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right| = \left|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right|\leq \frac{M+(n-n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math> נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math>. סה"כ, לכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right|<\varepsilon</math> כפי שרצינו. הוכחה עבור <math>L=\infty</math>: יהי <math>M>0</math>. קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>a_n>2M</math>. נסמן <math>x=a_1+...+a_{n_1}</math>. אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}> \frac{x+(n-n_1)2M}{n} = 2M + \frac{x-n_1}{n}</math> נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{x-n_1}{n}>-M</math> וביחד נקבל כי לכל <math>n>n_2</math> מתקיים <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}>M</math> ===הממוצע ההרמוני=== תהי סדרה <math>0< a_n\to L</math> אזי <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to L</math> כלומר הממוצע ההרמוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול. שימו לב שדרשנו שהסדרה חיובית, אחרת ייתכן צמצום שיוביל לאפס במכנה. הוכחה עבור <math>0\neq L\in\mathbb{R}</math>: <math>a_n\to L</math>, לכן <math>\frac{1}{a_n}\to \frac{1}{L}</math>. לכן <math>\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to \frac{1}{L}</math> ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to L</math> הוכחה עבור <math>L=0</math>: <math>\frac{1}{a_n}\to \infty</math> לכן <math>\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to \infty</math> ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to 0</math> הוכחה עבור <math>L=\infty</math>: <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math> לכן <math>0<\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to 0</math> ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to \infty</math> ===הממוצע ההנדסי=== לפי אי שיוויון הממוצעים, נובע כי אם <math>0<a_n\to L</math> אזי <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\to L</math> ===הוכחת כלל המנה=== תהי סדרה חיובית <math>0<a_n</math> כך ש <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math>. נגדיר את הסדרה <math>b_n</math> ע"י <math>b_1=a_1</math> ולכל <math>n>1</math> מתקיים <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכן הממוצע ההנדסי של הסדרה <math>b_n</math> מקיים :<math>\sqrt[n]{a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}}\to L</math> לכן בעצם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> כפי שרצינו. ==המספר e== נוכיח כי הסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מונוטונית עולה ממש. נחשב (סתם ככה בלי תירוצים נוספים) ממוצע הנדסי וחשבוני בין n+1 המספרים החיוביים הבאים (כי מותר, אז למה לא). :<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_n=(1+\frac{1}{n}),x_{n+1}=1</math> לפי אי שיוויון הממוצעים (שהוא נכון תמיד, גם למספרים שבחרנו ככה באופן חסר אחריות), כיוון שלא מדובר במספרים שווים, הממוצע ההנדסי קטן ממש מהממוצע החשבוני: :<math>\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}</math> ולכן :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}</math> נוכיח כי הסדרה <math>b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> מונוטונית יורדת ממש. באופן דומה, נשווה בין הממוצע ההרמוני לממוצע ההנדסי של n+2 המספרים הבאים: :<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_{n+1}=(1+\frac{1}{n}),x_{n+2}=1</math> ונקבל: :<math>\sqrt[n+2]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}> \frac{n+2}{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} + ...+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1 }</math> :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}> \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{1+\frac{1}{n}}+1}\right)^{n+2} = \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{\frac{n+1}{n}}+1}\right)^{n+2} =\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2} = \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}</math> לכן סה"כ לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_1<a_n<b_n<b_1</math> ושתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. '''נגדיר''' את המספר e להיות הגבול של הסדרה <math>a_n</math>. לכן <math>b_n=a_n\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot 1 = e</math> ומתקיים לכל n כי <math>a_n<e<b_n</math>. למשל עבור n=1 מקבלים כי <math>2<e<4</math>. ==אי שיוויון ברנולי== יהי <math>\epsilon>-1</math>, אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\cdot \epsilon</math> אמנם לא מסובך במיוחד להוכיח את אי שיוויון ברנולי באינדוקציה, אנחנו נוכיח אותו באמצעות אי שיוויון הממוצעים. למעשה באמצעות אי שיוויון הממוצעים, נוכיח גרסא רציונלית של אי השיוויון: :אם <math>\frac{m}{n}\geq 1</math> אזי <math>\left(1+\epsilon\right)^{\frac{m}{n}}\geq 1 + \frac{m}{n}\cdot \epsilon</math> ראשית, אם <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon <0</math> אי השיוויון ברור. לכן נניח כי <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon\geq 0</math>. לכן אי השיוויון שקול ל :<math>1+\epsilon\geq \sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n}</math> כעת :<math>\sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n\cdot 1^{m-n}}\leq \frac{n\cdot (1+\frac{m}{n}\epsilon) + (m-n)}{m} = 1+\epsilon</math> ===שימוש באי שיוויון ברנולי=== יהי <math>a>1</math> אזי <math>a^n\to \infty</math>. נסמן <math>a=1+\epsilon</math>, כאשר <math>\epsilon>0</math>. לכן <math>a^n=(1+\epsilon)^n\geq 1+n\epsilon\to \infty</math>. יהי <math>0<a<1</math> אזי <math>a^n\to 0</math>. כיוון ש <math>0<a<1</math> נובע כי <math>\frac{1}{a}>1</math>. לכן, <math>a^n = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^n}\to \frac{1}{\infty}=0</math> ==אי שיוויון קושי-שוורץ== ===עבור <math>\mathbb{R}^n</math>=== לכל <math>a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\in\mathbb{R}</math> מתקיים :<math>|a_1b_1+...+a_nb_n|\leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}</math> קל לראות שמספיק להוכיח את הטענה למספרים אי שליליים, וכך נעשה. ראשית, אם נציב את <math>x^2,y^2</math> באי שיוויון הממוצעים נקבל <math>xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}</math>. לכן, :<math>\sum_{k=1}^n x_ky_k\leq \frac{\sum_{k=1}^nx_k^2 + \sum_{k=1}^ny_k^2}{2}</math> כעת נציב <math>x_k=\frac{a_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}}</math> ו<math>y_k=\frac{b_k}{\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}</math> לכל k ונקבל :<math>\frac{\sum_{k=1}^n a_kb_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}\leq 1</math> וזהו בדיוק אי שיוויון קושי שוורץ. ===עבור מכפלה פנימית ממשית=== האם אותה הוכחה מתרגמת עבור מכפלה פנימית '''ממשית''' כללית? ובכן, :<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math> ולכן :<math>\langle v,w \rangle \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math> שזה אנלוגי לאי שיוויון הממוצעים. נציב את הנרמול של הוקטורים, ונקבל: :<math>\langle \frac{v}{||v||},\frac{w}{||w||} \rangle \leq 1</math> ולכן <math>\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> ע"י הצבה של <math>-v</math>, נקבל :<math>-\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> וביחד סה"כ קיבלנו את אי שיוויון קושי-שוורץ: :<math>|\langle v,w\rangle| \leq ||v||\cdot ||w||</math> ===עבור מכפלה פנימית מרוכבת=== נתחיל מאי השיוויון :<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math> אך הפעם נקבל :<math>Re(\langle v,w \rangle) \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math> על ידי הצבת הוקטורים המנורמלים נקבל את אי השיוויון החלש יותר: :<math>Re(\langle v,w \rangle)\leq ||v||\cdot ||w||</math> נשים לב כי :<math>Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) = Re(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v,w \rangle) = |\langle v,w \rangle|^2</math> כיוון שהערך המוחלט הוא מספר ממשי. לכן, :<math>|\langle v,w \rangle|^2=Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) \leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| = ||v||\cdot ||w|| \cdot |\langle v,w \rangle|</math> ושוב קיבלנו את אי שיוויון קושי שוורץ, כפי שרצינו.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)