לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הרצאה 2 חבורות ותת חבורות; פרקים 3,4 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] == ===חבורות=== *חבורה היא קבוצה G עם פעולה המקיימת: **סגירות **אסוציאטיביות **איבר נייטרלי **לכל איבר יש איבר הופכי *חבורה המקיימת את חוק החילוף נקראת חבורה אבלית, קומוטטיבית או חילופית *תכונת הצמצום: תהי חבורה G, אזי לכל <math>a,b,c\in G</math> אם <math>ab=ac</math> אזי <math>b=c</math>. **הוכחה: נכפול באיבר ההופכי <math>a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)</math> ונשתמש באסוציאטיביות ובאיבר הנייטרלי. *יחידות האיבר ההופכי: נובע מתכונת הצמצום שלכל איבר בחבורה קיים איבר הופכי יחיד. **הוכחה: אם <math>ab=ac=e_G</math> אזי <math>b=c</math>. *דוגמאות לחבורות: **<math>S_n</math> חבורת הפונקציות ההפיכות מקבוצה בגודל n לעצמה עם פעולת ההרכבה. **<math>GL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות ההפיכות עם כפל מטריצות. **<math>\mathbb{Z}</math> חבורת השלמים עם חיבור. **<math>\mathbb{Z}_n</math> חבורת השאריות עם חיבור מודולו n. ===מכפלה קרטזית של חבורות=== *תהיינה חבורות <math>G,H</math> המכפלה הקרטזית של החבורות <math>G\times H</math> (אוסף הזוגות הסדורים) היא חבורה עם הפעולה הבאה: <math>(g_1,h_1)\cdot_{G\times H}(g_2,h_2)=(g_1\cdot_G g_2,h_1\cdot_H h_2)</math> ===תת חבורות=== *הגדרה: תהי חבורה G. תת קבוצה <math>H\subseteq G</math> נקראת תת חבורה של G אם היא חבורה ביחס לפעולה של G. *קרטריון מקוצר לבדיקת תת חבורה: *תת קבוצה H של חבורה G הינה תת חבורה אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים: **<math>e_G\in H</math>. **לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>. *הוכחת הקריטריון המקוצר: *בכיוון ראשון נניח כי H תת חבורה: **נוכיח כי <math>e_G\in H</math>. ***נניח H תת חבורה, לכן קיים בה איבר נייטרלי <math>e_H</math>. ***כיוון שמדובר באיבר נייטרלי בH מתקיים כי <math>e_H\cdot e_H=e_H</math>. ***מצד שני ברור ש<math>e_H\cdot e_G=e_H</math>. ***לכן <math>e_H\cdot e_H=e_H\cdot e_G</math> ולפי תכונת הצמצום נובע ש <math>e_H=e_G</math>. **נוכיח כי לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>. ***יהיו <math>a,b\in H</math>. ***קיים בH הופכי לb, נקרא לו c. ***לכן <math>bc=bb^{-1}=e_G</math> (הרי הוכחנו כבר ש<math>e_H=e_G</math>). ***שוב לפי תכונת הצמצום נובע כי <math>b^{-1}=c\in H</math>. ***לפי הסגירות של H נובע כי <math>ab^{-1}\in H</math>. *בכיוון השני, נוכיח כי H תת חבורה: **סגירות: ***יהיו <math>a,b\in H</math>. ***ידוע כי <math>e_G\in H</math>, לכן <math>e_G\cdot b^{-1}\in H</math>, כלומר <math>b^{-1}\in H</math>. ***לכן <math>a\cdot \left(b^{-1}\right)^{-1}\in H</math> כלומר <math>a\cdot b \in H</math>. **אסוציאטיביות: ***נתון כי הפעולה אסוציאטיבית, הרי זו הפעולה של G וG חבורה. **איבר נייטרלי: ***נתון כי <math>e_G\in H</math>. **איברים הופכיים: ***יהי <math>a\in H</math>. ***לכן <math>a^{-1}=e_G\cdot a^{-1}\in H</math> בדומה להוכחת הסגירות. *תת חבורות; **<math>SL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה שווה 1, עם כפל מטריצות. **קווטרניונים <math>\left\{ \pm\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \pm\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}, \pm\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}, \pm\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix} \right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{C}\right)</math> **<math>\mathbb{C}\setminus \{0\}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}:(a,b)\neq (0,0)\right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{R}\right)</math>. **<math>\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> מעגל היחידה. ===תת חבורות ציקליות=== *כתיב אקספוננט <math>g^n=g\cdots g</math> או כפל <math>ng=g+\cdots+g</math> בהתאם לסימון פעולת החבורה. *תהי G חבורה, לכל <math>a\in G,n\in \mathbb{N}</math> נגדיר: **<math>a^0=e_G</math>. **<math>a^{-n}=(a^{-1})^n</math> *הערה: קל להוכיח כי <math>(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}</math> *תהי חבורה G, לכל <math>a\in G</math> נגדיר את הסדר של האיבר <math>o(a)</math> בתור החזקה החיובית הקטנה ביותר k עבורה <math>a^k=e_G</math>. אם אין חזקה כזו, ניתן לומר שהסדר הוא אינסוף. *דוגמאות: **<math>o(e_G)=1</math>. **ב<math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים כי <math>o(2)=5</math>. **ב<math>\mathbb{Z}</math> הסדר של כל איבר שונה מאפס הוא אינסוף. *תהי חבורה G, ויהי <math>a\in G</math>. תת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי a הינה <math><a>=\{a^n|n\in\mathbb{Z}\}</math> *הוכחה שאכן מדובר בתת חבורה: **<math>e_G=a^0\in<a></math>. **יהיו <math>a^n,a^k\in<a></math> אזי <math>a^n\cdot (a^k)^{-1}=a^n\cdot (a^{-1})^k=a^{n-k}\in<a></math>. *תהי חבורה G, אזי סדר כל איבר הוא גודל החבורה הציקלית שהוא יוצר, כלומר <math>|<a>|=o(a)</math>. *הוכחה: **ראשית נוכיח עבור המקרה בו סדר האיבר סופי <math>o(a)=n</math>. ***רוצים להוכיח כי <math><a>=\{e_G,a,a^2,...,a^{n-1}\}</math> וכי כל האיברים בקבוצה זו שונים זה מזה (אחרת כמות האיברים קטנה יותר מn). ***ברור שהחזקות של a שייכות לתת החבורה הציקלית. ***יהי k כלשהו, נסמן בr את השארית <math>r=k \mod n</math> כלומר <math>k=pn+r</math> עבור <math>p\in\mathbb{Z}, 0\leq r\leq n-1</math>. ***<math>a^k=(a^n)^pa^r=e_G^pa^r=a^r</math>. ***כעת נניח כי קיימות שתי חזקות שונות <math>0\leq r_1<r_2\leq n-1</math> כך ש <math>a^{r_1}=a^{r_2}</math>. ***לכן <math>a^{r_2-r_1}=e_G</math>. ***אבל <math>r_2-r_1\leq n-1 < n</math> בסתירה לכך ש<math>o(a)=n</math>. **כעת נניח כי סדר האיבר הוא אינסוף, ונוכיח כי גודל תת החבורה הציקלית שהוא יוצר הוא אינסוף. ***נניח בשלילה ש <math><a></math> סופית, לכן לפחות שתי חזקות שונות של a נותנות אותו איבר. ***נסמן <math>n<k</math> כך ש <math>a^n=a^k</math>. ***לכן <math>a^{k-n}=e_G</math> בסתירה לכך שסדר האיבר הוא אינסוף. *מסקנה: תהי חבורה '''סופית''' G, אזי לכל איבר בחבורה יש סדר סופי. **הוכחה: גודל תת החבורה הציקלית חייב להיות סופי. *תת חבורות ציקליות: **<math>2\mathbb{Z}</math>. **<math>\{z\in\mathbb{C}:z^n=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> שורשי היחידה מסדר n.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)