לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== מד״ר לינארית === בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x)</math>. * אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי. ** אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות <math>n</math> מימדי. * '''ורונסקיאן:''' עבור קבוצת פונקציות <math>y_1,\dots,y_n</math> מגדירים <math>W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>. ** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>. ** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל. * '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}</math>. * הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי כלשהו של המד״ר. * '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>. * נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ולכן <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וגם <math>r^n+\sum_{k=0}^{n-1} a_k r^k</math> (זה הפולינום האופייני של המשוואה) שווה ל־0. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}x^i</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב <math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\Big)</math>. :* '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>f(x)=\mathrm e^{\lambda x}\sum_{k=0}^m b_k x^k</math>, כאשר <math>\lambda</math> קבועה, והריבוי של <math>\lambda</math> בפולינום האופייני הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>\mathrm e^{\lambda x}x^d\sum_{k=0}^m B_k x^k</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>. ''הערה:'' אם <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>g(x),h(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים. * '''משוואת אוילר(–לגראנג׳)''' היא מד״ר לינארית מהצורה <math>(x-x_0)^ny^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k (x-x_0)^k y^{(k)}=f(x)</math> עם <math>\forall k:\ a_k=\text{const.}</math>. מציבים <math>x-x_0=\begin{cases}\mathrm e^t,&x>x_0\\-\mathrm e^t,&x<x_0\end{cases}</math> במד״ר ההומוגנית ואז <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac1{x-x_0},\ y''=\mathrm e^{-2t}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right),\ \dots</math>. נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב <math>y=(x-x_0)^r</math> במד״ר ההומוגנית ולקבל <math>r^n+\sum_{k=0}^{n-1} b_k r^k=0</math> (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m (x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}\ln^i(x-x_0)</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נחליף את <math>C_1(x-x_0)^{r_k}+C_2(x-x_0)^{\overline{r_k}}</math> ב־<math>(x-x_0)^\alpha\Big(c_1\cos(\beta\ln(x-x_0))+c_2\sin(\beta\ln(x-x_0))\Big)</math>. :* אם <math>f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>\lambda</math> קבועה, והריבוי של <math>\lambda</math> במשוואה האינדיציאלית הוא <math>d</math> (אם לא שורש <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>(x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>. * '''התמרת לפלס ההפוכה:''' עבור <math>c</math> כך ש־<math>c>\mbox{Re}(s_i)</math> לכל קוטב <math>s_i</math> של <math>g</math>, מתקיים <math>\mathcal L^{-1}[g](t)=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \mathrm e^{c+\mathrm ist}g(s)\mathrm ds</math>. * נניח שמקדמי המד״ר קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את <math>\mathcal L[y]</math> (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה. ==== פתרון באמצעות טורי חזקות ==== * נתונה מד״ר מהצורה <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> כאשר <math>\forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b)</math> ותהי <math>x_0\in(a,b)</math>. אם <math>f</math> וכל המקדמים <math>a_k</math> אנליטיים סביב <math>x_0</math> עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב <math>x_0</math> של המד״ר עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר. * '''טור פרוביניוס''' הוא טור מהצורה <math>(x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k</math>. * '''שיטת פרוביניוס:''' בהנתן <math>a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0</math> נחלק ב־<math>a_2(x)</math>. תהי <math>x_0</math> נקודה סינגולרית של <math>\frac1{a_2(x)}</math>. אם קיימים הגבולות <math>L_1=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\frac{a_1(x)}{a_2(x)},L_2=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^2\frac{a_0(x)}{a_2(x)}</math> הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת <math>x_0</math> נקבל <math>(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_2+o(1))y=0</math>. לפי משפט, אם <math>x_0</math> נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב <math>x_0</math> בצורת בצורת טור פרוביניוס. נחשב את הפולינום האופייני של המד״ר עם <math>o(1)=0</math> ע״י הצבת <math>y=(x-x_0)^r</math>, ואם פתרונות הפולינום הם <math>r_1,r_2</math> אזי יש שני פתרונות פרטיים בת״ל מהצורה <math>y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i,\quad k\in\{1,2\}</math> כאשר <math>r_1-r_2\not\in\mathbb Z</math> ו־<math>y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{i=0}^\infty b_{1,i}(x-x_0)^i</math>,<math>y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{i=0}^\infty b_{2,i}(x-x_0)^i</math> כאשר <math>r_1-r_2\in\mathbb Z</math> ומתקיים בה״כ <math>r_1\ge r_2</math>. נציב אותם במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.<br>''הערה:'' נאמר ש־<math>f\in o(g)</math> אם <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>. לעתים כותבים "<math>o(1)</math>" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה. :* '''פונציית גמא:''' <math>\forall x>0:\ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt</math>. היא מקיימת <math>\Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x)</math> וגם <math>\forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל <math>x\in\mathbb R\setminus(-\mathbb N\cup\{0\})</math> ע״י <math>\Gamma(x-1)=\frac{\Gamma(x)}{x-1}</math>. ערך חשוב: <math>\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi</math>. :* '''פונקציית בסל (מסוג ראשון):''' <math>J_m(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Gamma(m+1)}{k!\Gamma(m+k+1)}\left(\frac x2\right)^{2k+m}</math> כאשר <math>m</math> היא ''דרגת הפונקציה''. :* '''משוואת בסל:''' <math>x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0</math>. מתקיים <math>y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0</math> ולכן <math>\lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2</math>, כלומר 0 סיגולריות־רגולרית. השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm m</math> ולכן אם <math>m\not\in\frac12\mathbb Z</math> אז הפתרון הכללי הוא <math>c_1 J_m(x)+c_2 J_{-m}(x)</math>. אחרת הפתרון הכללי הוא <math>c_1J_m(x)+c_2Y_m(x)</math> כאשר <math>Y_m(x)=\lim_{m'\to m}\frac{J_{m'}(x)\cos(\pi m')-J_{-m'}(x)}{\sin(\pi m')}</math> (זו ''פונקציית בסל מסוג שני''). ==== מערכות מד״ר ==== * '''שיטת ההצבה:''' נתונה המערכת <math>\begin{cases}y_1'=g(y_1,y_2)\\y_2'=h(y_1,y_2)\end{cases}</math>. אזי <math>\frac{\mathrm dy_1}{\mathrm dy_2}=\frac{g(y_1,y_2)}{h(y_1,y_2)}</math> ולכן ניתן למצוא את <math>y_1</math> כתלות ב־<math>y_2</math> או להפך. את הפתרון נותר להציב במערכת ולפתור שתי מד״ר נפרדות. ===== מערכות מד״ר לינאריות מסדר 1 עם מקדמים קבועים ===== בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא <math>\mathbf y'=\mathbf{Ay}+\mathbf f</math> כאשר <math>\lambda_i</math> הם הע״ע של <math>\mathbf A</math> (<math>i\in\{1,\dots,n\}</math>. ייתכן שחלק מהע״ע שווים), ו־<math>\mathbf v_i</math> הם הו״ע המתאימים להם, כאשר הו״ע של אותו ע״ע הינם בת״ל (באופן שקול, <math>\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> צריכים לפרוש את <math>\mathbb C^n</math> מעל השדה <math>\mathbb C</math>). * לכל <math>i</math>, <math>\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימה. * ''תזכורת:'' מטריצה <math>\mathbf A</math> לכסינה אם״ם קבוצת הו״ע שלה היא <math>\mathbb C^n</math>, מה שמתקיים אם״ם הריבוי האלגברי של כל ע״ע שווה לריבויו הגיאומטרי. תנאי מספיק (אך לא הכרחי) לכך הוא שכל הע״ע שונים. * אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לכסינה אז <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> הוא הפתרון הכללי. * אם <math>\mathbf A</math> לכסינה נסמן ב־<math>\mathbf P</math> מטריצה מלכסנת שלה: <math>\mathbf P^{-1}\mathbf{AP}=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)</math>. נגדיר <math>\mathbf z=\mathbf P^{-1}\mathbf y</math> ולכן <math>\mathbf z'=\mathbf P^{-1}\mathbf y'=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\mathbf z+\mathbf P^{-1}\mathbf f</math>, ונותר לפתור <math>n</math> מד״ר נפרדות ולהציב ב־<math>\mathbf y=\mathbf{Pz}</math>. * אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה <math>\mathbf y=\sum_{\lambda_i} \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1}\mathbf u_{i,j} x^j</math> כאשר <math>\mathbf u_{i,j}</math> וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במערכת המד״ר ו־<math>d_i</math> הריבוי האלגברי של <math>\lambda_i</math>. * נניח ש־<math>n=2</math> והמערכת הומוגנית. נסמן <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}</math> וגם <math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>. לבסוף,{{left|<math>\begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1'-a d y_1\\&=(a+d)y_1'+(bc-ad)y_1\end{align}</math>}}ונותר לפתור מד״ר מסדר 2 וכן להציב ב־<math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)