לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===הוכחה=== תחילה נניח שקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math>) ולפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים ולכל <math>x\in I</math> נשאיף <math>m\to\infty</math> כלומר <math>|f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math>. לכן הוכחנו ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)