לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 2 מדמח קיץ תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==קבוצות== ההגדרה האינטואיטיבית לקבוצה הינה "אוסף של איברים". ההגדרה הזו מובילה לסתירות לוגיות כגון "פרדוקס ראסל". נביט בקבוצה הבאה: *X=אוסף כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן אם X שייכת לקבוצה הזו, אזי היא אינה שייכת לקבוצה. אולם, אם היא אינה שייכת לקבוצה אזי היא כן שייכת לקבוצה. סתירה אינה מקובלת במחוזות המתמטיקאים, ולכן הגדירו את "תורת הקבוצות האקסיומטית" העוקפת בעייה זו. ניתן לקרוא יותר על נושא זה בקישור לעיל, עבורנו מספיקה ההגדרה האינטואיטיבית. אם כן, נחזור להגדרתנו הנאיבית; '''קבוצה''' הינה אוסף של איברים שונים. בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות: <math>\{1,horse,3\}</math>, <math>\{1,2,3\}</math> ו<math>\{1,\{2,3\},\{\}\}</math> איבר ה'''שייך''' לקבוצה אנו מסמנים בסימן <math>\in</math>. למשל <math>1\in\{1,2,3\}</math>, ואילו <math>4\notin\{1,2,3\}</math>. שימו לב שגם <math>1\notin\{\{1,2,3\}\}</math> שכן האיבר היחיד בקבוצה זו הינה הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math>. *אומרים שקבוצה A '''מוכלת''' בקבוצה B (מסומן <math>A \subseteq B</math>) אם כל האיברים בA הם גם איברים בB. בשפה מדויקת, A מוכלת בB אם מתקיים <math>\forall a\in A: a\in B</math>. :דוגמא: <math>\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math> כאשר ::<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}</math> המספרים הטבעיים ::<math>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}</math> המספרים השלמים ::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} : m,n\in \mathbb{Z},n\neq 0\}</math> המספרים הרציונאלים (שברים) ::<math>\mathbb{R}</math> המספרים הממשיים ("כל המספרים" על הישר) ::<math>\mathbb{C}=\{a+bi : a,b\in \mathbb{R}, i^2 =-1\}</math> המספרים המרוכבים *'''חיתוך''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים גם לA וגם לB (מסומן <math>A\cap B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cap B \iff (a\in A \and a\in B)</math>. *'''איחוד''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים לA או לB (מסומן <math>A\cup B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cup B \iff (a\in A \or a\in B)</math>. *קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>. *A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A/B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>. *'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B) / (A\cap B)</math> דוגמא: יהיו <math>A=\{1,2,\{1\}\},B=\{1,\{2\}\},C=\{2,\{1,2\}\}</math> קבוצות. אזי: <math>A\cup B =\{1,2 ,\{1\},\{2\}\} </math> <math>(A\cup B)\cap C =\{2\} </math> <math> B \cap C = \emptyset</math> <math>C \backslash A =\{\{1,2\}\}</math> <math> B \Delta C = B \cup C</math> <math> A \Delta C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math> * הצרן תנאי השקול לכך שקבוצה C לא מוכלת באיחוד של A ו-B. תכונות האיחוד והחיתוך (דומה לכפל וחיבור) *אסוציאטיביות: <math>(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)</math> (וכנ"ל לגבי איחוד) *חילוף: <math>A\cap B = B\cap A</math> (וכנ"ל לגבי איחוד) *דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math> ====תרגיל==== נוכיח שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי, כלומר: לכל שלש קבוצות <math>A,B,C</math> מתקיים : <math>A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C</math> =====פתרון===== אפשרי ע"י טבלת אמת הנקראת טבלת שכיחויות. ====תרגיל==== הוכח כי: א. הקבוצה הריקה <math>\phi=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A ב. <math>\phi \cap A = \phi </math> ג. <math>\phi \cup A = A </math> =====פתרון===== א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in \phi: a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר. ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math> כעזרת א קיבלנו הכלה בשני הכיוונים ולכן שיוויון. ג. <math>\phi \cup A = \{x:x\in \phi \or x\in A\}= \{x:x\in A \}=A </math> כי <math>F\lor p\equiv p</math>. ===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם=== '''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות <math>A_1,A_2,\ldots,A_{17}</math>. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום <math>A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}</math>, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: <math>\bigcap _{i=1} ^{17} A_i</math>. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה: '''הגדרה:''' יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך: <math>\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math> <math>\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה. דוגמא: נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \; A_n:=[n,n+1]</math> אזי <math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) </math> <math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math> ====תרגיל==== נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים: #<math>\phi\subseteq B</math> (כן) #<math>\phi\in \phi</math> (לא) #<math>\phi \subseteq \phi</math> (כן) #<math>A\subseteq B</math> (כן) #<math>A\in B</math> (כן) #<math>A\cup B = B</math> (כן) #<math>A\cap B=\phi</math> (לא) ====תרגיל==== הוכח כי <math>A\cap (B/C)=(A\cap B) / (A\cap C)</math> =====פתרון===== דרך גרירות לוגיות: <math>x\in A\cap (B/C)\iff (x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)]\iff [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math> בצד הימני הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה: <math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)] </math> וזה בדיוק מה שרצינו. דרך הכלה דו כיוונית: (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow</math> <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math> <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> אזי <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math> <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math> (כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>x\in A\cap C</math> סתירה) <math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math> ====תרגיל==== נתונות <math>A=\{2m+1:m\in\mathbb{Z}\}</math>, ו <math>B=\{2m+3:m\in\mathbb{Z}\}</math>. הוכח שA=B. =====פתרון===== נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> כפי שרצינו. ההכלה בכיוון ההפוך דומה. === משלים === '''הגדרה''': תהי קבוצה U (אוניברסלית) ותהי תת קבוצה שלה <math>A\subseteq U</math>. נגדיר את ה'''משלים''' של A (ביחס ל <math>U</math> להיות: <math>A^c=\bar{A}=U-A={x\in U|x\notin A}</math> תכונות בסיסיות: * <math>A\cup A^c = U</math> * <math>\emptyset^c = U</math> * <math>U^c = \emptyset</math> * <math>(A^c)^c = A</math> על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה): *<math>(A\cap B)^c = A^c \cup B^c</math> *<math>(A\cup B)^c = A^c \cap B^c</math> הערה: באופן כללי מתקיים א. <math>(\cap _{i\in I} A_i)^c = \cup _{i\in I} A_{i}^c </math> ב. <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math> הוכחה לסעיף א: <math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math> ====תרגיל==== הוכיחו: <math>A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)</math> =====פתרון===== <math>A-(B\cap C)=A\cap (B\cap C)^c=A\cap (B^c\cup C^c)=(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)=(A-B)\cup (A-C)</math> ===קבוצת החזקה=== '''הגדרה''': תהי קבוצה A. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של A בתור אוסף כל תתי הקבוצות של A. מסומן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math> דוגמא: <math>A=\{1,2\}</math> אזי <math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>. האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? ====תרגיל ממבחן==== יהיו A,B,C קבוצות. הוכיחו/הפריכו: א. אם <math>A \not\subseteq B \cap C</math> אזי <math>(A/B)\cap(A/C)\neq \phi</math> ב. אם <math>A\subseteq B</math> אזי <math>A\cup(B/A)=B</math> ג. אם <math>A\cap B=\phi</math> אזי <math>P(A)\cap P(B) = \{\phi\}</math> =====פתרון===== א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A/B)\cap(A/C)=\{2\}\cap\{1\}=\phi</math> ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי <math>x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)] </math> כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון <math>(x\in A)\rightarrow (x\in B)</math> ניתן להסיק בקלות ש<math>(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in B)</math> כפי שרצינו. דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי <math>A\cap A^c =U</math> וזה אכן נכון! ג. נניח בשלילה ש<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\phi\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>\phi \not=C</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תתי הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)