לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-101 חשיבה מתמטית - כמתים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== וריאציות וכימות יחסי === הכמתים היסודיים מאפשרים לנסח טענות סטנדרטיות נוספות. * <math> \exists x : (P(x) \wedge \forall y : (P(y) \rightarrow x=y))</math> -- "קיים x המקיים את התכונה P, ובנוסף, כל y המקיים את התכונה P שווה ל-x". כלומר: "קיים x יחיד המקיים את התכונה P". לפעמים מקצרים את הפסוק הזה וכותבים <math>\ \exists! x: P(x)</math>. אפשר לראות בצירוף "<math>\ \exists !</math>" כמת שלישי, למרות שכאמור לעיל ניתן להגדיר אותו באמצעות שני הכמתים האחרים (בנוכחות פרדיקט השוויון). לפעמים רוצים לומר שיש אינסוף מספרים המקיימים תכונה מסויימת. אפשר לעשות זאת כך: * <math>\ \forall n : \exists x : ((x>n) \wedge P(x))</math>: "לכל n יש x גדול ממנו המקיים את התכונה". אם היה רק מספר סופי של מספרים המקיימים את התכונה המדוברת, אז הפסוק היה שקרי משום שאפשר היה לבחור בתור n את המספר הגדול ביותר. מאחורי כל כמת מסתתרת "קבוצה אוניברסלית", שהיא קבוצת הערכים המותרים עבור המשתנה הצמוד לכמת (מספרים ממשיים, מספרים טבעיים, פירות, אנשים). בדרך כלל הקבוצה הזו מובנת מההקשר; אם לא, יש לציין במפורש מהו טווח הערכים המתאים. לצרכי נוחות, מרשים גמישות במבנה הצורני של הפסוקים, כך שאפשר יהיה לכמת "כימות יחסי". לדוגמא, מותר לכתוב * <math>\ \forall x>0: \exists y>0: y<x</math> - "לכל מספר חיובי x יש מספר חיובי y הקטן ממנו", כלומר "אין מספר חיובי קטן ביותר", בתור קיצור לכתיבה המלאה <math>\ \forall x: ((x>0) \rightarrow (\exists y: ((y>0) \wedge (y<x))))</math> - "לכל מספר x, אם הוא חיובי, אז קיים מספר y שהוא חיובי וקטן מ-x". '''תרגיל'''. הגדרה: חסם מלעיל של קבוצת מספרים, הינו איבר הגדול מכל איברי הקבוצה (בין אם הוא שייך בעצמו לקבוצה ובין אם לאו). לדוגמא, 0 ו-1 הם חסמים מלעיל של קבוצת המספרים השליליים. *הצרן את הטענה "a הוא חסם מלעיל של A" (אם ברצונך להתייחס לאיברים מהקבוצה A, אפשר להשתמש בכמתים באופן <math>\forall a\in A, \exists a\in A</math>) הגדרה: חסם עליון הוא חסם מלעיל, הקטן מכל חסם מלעיל אחר. *הצרן את המושג חסם עליון (כלומר, את הפסוק "a הוא חסם עליון של הקבוצה A"). a הוא חסם עליון של הקבוצה A אם מתקיים: <math>(\forall b \in A : b<a)\and (\forall c: \forall b \in A: (b<c)\rightarrow c<a)</math> *הצרן את השלילה של הטענה "a הוא חסם מלעיל של A". *הצרן את הטענה "אם יש לקבוצה חסם עליון, אז הוא יחיד". '''תרגיל'''. * באחד התרגילים הקודמים היית אמור לאשר שהפסוק <math>\ \forall x P(x) \implies \exists x P(x)</math> הוא אמיתי, אם הכמתים מתייחסים לקבוצת המספרים השלמים. מצא מרחב אוניברסלי לכמתים שעבורו הפסוק אינו אמיתי (חשוב על הפסוק "כל פיל מעופף יודע קרוא וכתוב; מכאן שיש פיל מעופף היודע קרוא וכתוב"). יש טענות שאפשר לנסח באופן ישיר, אבל קל יותר לנסח באופן יחסי: '''תרגיל'''. נניח שהיכרות היא פרדיקט סימטרי P בשני משתנים (כלומר, <math>\ \forall x,y: P(x,y) \leftrightarrow P(y,x)</math>). * נסח את הפסוק: מבין כל ששה אנשים, או שיש שלושה המכירים זה את זה, או שיש שלושה שאף אחד מהם אינו מכיר אף אחד אחר. '''פתרון חלקי'''. הפתרון הישיר הוא מהצורה <math>\ \forall x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6: P(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)</math> כאשר P הוא פסוק ארוך מאד בן ששה משתנים, שאין בו כמתים. יעיל יותר לפתור כך: <math>\ x_1,\dots,x_6</math> שונים, וקיימים y,z,u מתוך הערכים <math>\ x_1,\dots,x_6</math>, המקיימים תנאי מסויים. בשלב זה קשה לכתוב "קיימים y,z,u מתוך" קבוצה מסויימת; כדי לעשות זאת היטב יש ללמוד מעט תורת הקבוצות.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)