לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל 3.4 ג-ז=== נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b. נסמן ב <math>H=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=0\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב<math>L=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=b\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות: ====ג (עושים בהרצאה)==== נניח <math>L</math> אינה קבוצה ריקה ויהא <math>v_1\in L</math> פתרון למערכת הלא הומוגנית. הוכח כי <math>L=\{v_1+v|v\in H\}=v_1 + H</math>. במילים אחרות, כל פתרון של המערכת הלא הומגונית מתקבל מפתרון למערכת ההומוגנית + <math>v_1</math>. (גם להיפך מתקיים <math>H=L-v_1 =\{v-v_1 : v\in L\}</math> =====פתרון===== נוכיח הכלה דו כיוונית. כיוון ראשון (<math>\subseteq</math>) יהא <math>w\in L</math> צ"ל <math>w\in v_1 +H</math>. נגדיר <math>v=w-v_1</math> ואז <math>w=v_1 + v</math> נותר להוכיח כי <math>v\in H</math> (כלומר כי מתקיים <math>Av=0</math>). אכן <math>Av=A(w-v_1)=Aw-Av_1 = b-b =0</math>. כיוון שני (<math>\supseteq</math>) ניקח <math>v\in H</math> כלשהו ונוכיח כי <math>v_1+v\in L</math>. אכן, <math>A(v_1+v)=Av_1+Av=b+0=b</math>. מסקנה: אם <math>L</math> אינה ריקה קיימת התאמה חח"ע ועל <math>f:H\to L</math> המוגדרת <math>f(v)=v_1+v</math> (בלשון פורמאלית L ו H שוות עוצמה. בלשון לא פורמאלית ב L ו H יש אותם כמות איברים) ====ד==== מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש פתרון יחיד למערכת ההומוגנית =====פתרון===== נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>b=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד (0,0). ====ה==== מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש אינסוף פתרונות למערכת ההומוגנית =====פתרון===== נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>b=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b מעל הממשיים ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש אינסוף פתרונות. קבוצת הפתרונות היא <math>\{\left( \begin{array}{c} -t \\ t\\ \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \} </math> ====ו (בקיץ לא לומדים שדות סופיים)==== מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש 7 פתרונות למערכת ההומוגנית =====פתרון===== נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>A=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b מעל השדה <math>\mathbb{Z}_7</math> ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש 7 פתרונות מכיוון שיש משתנה חופשי יחיד. ====ז==== נתון שמספר המשוואות זהה למספר הנעלמים. עוד נתון שאין פתרונות למערכת הלא-הומוגנית. מה ניתן לומר על מספר הפתרונות של המערכת ההומוגנית? =====פתרון===== נדרג את המטריצה A. מכיוון שאין פתרונות למערכת הלא-הומוגנית, חייבת להיות בצורה המדורגת של A שורת אפסים (אחרת יש אותו מספר של איברים מובילים ושל משתנים ולכן אין משתנים חופשיים וכל משתנה נקבע באופן יחיד על ידי וקטור הפתרונות). מכיוון שיש שורת אפסים בצורה המדורגת, יש משתנה חופשי ולכן יש יותר מפתרון אחד למערכת ההומוגנית (מספר הפתרונות הוא מספר האיברים בשדה בחזקה מספר המשתנים החופשיים, ובכל שדה יש לפחות שני איברים שונים).
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)