לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== משפט ההגדרה== יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהי <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math> ויהיו <math>w_{1},\dots,w_{n}\in W</math> וקטורים כלשהם. אזי קימת הע"ל יחידה <math>T:V\to W</math> כך ש <math>T(v_{i})=w_{i}</math> לכל <math>i</math> '''מסקנה''' ניתן להגדיר הע"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל '''V''' ===דוגמאות === ==== דוגמא 1 ==== <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מצא את '''ה'''הע"ל <math>T:V\to V</math> המקימת <math>T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1</math>. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן <math>T</math> שולחת פולינום כללי <math>a+bx+cx^{2}</math> פתרון: <math> T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> ==== דוגמא 2 ==== יהיו <math> v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math> עוד יהיו <math> w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, w_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}, w_3= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 </math> האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tv_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? פתרון: אם <math>v_1,v_2,v_3</math> היו בסיס אז לפי משפט ההגדרה היתה ה"ל כנדרש אבל... <math> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 4 \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} </math> מפתרון המערכת רואים שהוקטורים ת"ל ומתקיים <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> לכן גם אם נפעיל את הע"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> ולכן הדרישה כי <math>Tv_3=w_3</math> מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את <math>v_1,v_2</math> לבסיס <math>v_1,v_2,v</math> ולהגדיר <math>Tv_i=w_i, Tv=0</math>/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה. #מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות <math> u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math> ? האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tu_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? #מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ? תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)