לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מתמטיקה בדידה - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
====עוצמה כפול עצמה==== *תהי קבוצה אינסופית <math>B</math> אזי <math>B\times B\sim B</math> *הוכחה: *תהי <math>S</math> קבוצת כל היחסים <math>R\subseteq (B\times B)\times B</math>, כך שקיימת תת קבוצה <math>X\subseteq B</math> כך ש <math>R:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה. *כיוון ש<math>B</math> אינסופית, יש לה תת קבוצה <math>Y\subseteq B</math> כך ש <math>|Y|=\aleph_0</math>. *כיוון ש <math>\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0</math> קיימת פונקציה הפיכה <math>R:Y\times Y\to Y</math>. *נביט ביחס ההכלה על <math>S</math>. לפי עקרון המקסימום של האוסדורף, קיימת שרשרת מקסימלית <math>\{R\}\subseteq M\subseteq S</math>. *נסמן ב<math>f</math> את האיחוד הכללי של השרשרת <math>f=\cup_{T\in M} T</math>. *נוכיח כי קיימת <math>D\subseteq B</math> כך ש <math>f:D\times D\to D</math> פונקציה הפיכה, ואף <math>|D|=|B|</math> וכך נסיים את ההוכחה. *הוכחה כי <math>f\in S</math> פונקציה הפיכה <math>f:D\times D\to D</math> עבור תת קבוצה <math>D\subseteq B</math>: *ראשית, נגדיר את <math>D=\{d\in B | \exists a,b\in B:((a,b),d)\in f\}</math> *נוכיח כי <math>f\subseteq (D\times D)\times D</math>: **יהי זוג <math>((a,b),d)\in f</math>, לפי ההגדרה <math>d\in D</math> **כמו כן, לפי הגדרת האיחוד קיים <math>T\in M</math> כך ש <math>((a,b),d)\in T</math>. **קיימת <math>X\subseteq B</math> כך ש <math>T:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה. **כיוון ש <math>T</math> על, לכל <math>x\in X</math> קיימים <math>p,q\in X</math> כך ש <math>((p,q),x)\in T</math> ולכן <math>((p,q),x)\in f</math> ולכן <math>x\in D</math> **ביחד עם העובדה ש <math>a,b\in X</math> נובע כי <math>a,b\in D</math> *כיוון שכל איברי השרשרת הם יחסים ח"ע, גם <math>f</math> ח"ע. *כיוון שכל איברי השרשרת הם יחסים חח"ע, גם <math>f</math> חח"ע. *כעת נוכיח כי <math>f:D\times D\to D</math> יחס שלם: **יהיו <math>d_1,d_2\in D</math>. **ראינו כי קיימים <math>T_1,T_2\in M</math> ואיברים <math>a_1,b_1,a_2,b_2\in D</math> כך ש <math>((a_1,b_1),d_1)\in T_1</math> וכן <math>((a_2,b_2),d_2)\in T_2</math> **כיוון ש<math>M</math> שרשרת, <math>T_1\subseteq T_2</math> (או ההפך) ולכן <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in X</math> עבור תת קבוצה <math>X\subseteq D</math> כך ש <math>T_2:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה. **לכן קיים <math>d_3\in X\subseteq D</math> כך ש <math>((d_1,d_2),d_3)\in T_2</math> ולכן <math>((d_1,d_2),d_3)\in f</math> כלומר <math>f</math> שלם. *הוכחנו כי <math>f:D\times D\to D</math> היא פונקציה (יחס ח"ע ושלם) חח"ע, נותר להוכיח כי היא על: **יהי <math>d\in D</math>. ראינו כי קיים <math>T\in M</math> וקיימים <math>a,b\in D</math> כך ש <math>((a,b),d)\in T</math> ולכן <math>((a,b),d)\in f</math> ולכן הפונקציה על. *הוכחה כי <math>|D|=|B|</math>: *ראשית, נשים לב כי <math>Y\subseteq D</math> כיוון ש <math>R:Y\times Y\to Y</math> פונקציה הפיכה וכן <math>R\in M</math>, ולכן <math>D</math> אינסופית. *כעת, נזכור שהוכחנו כי <math>|D\times D|=|D|</math>. *נביט ב <math>B\setminus D</math> ונחלק למקרים: *אם <math>|B\setminus D|\leq D</math> אזי: **<math>|B|=|D|+|B\setminus D|\leq |D|+|D|\leq |D|\times |D| =|D|</math> **כמובן ש <math>|D|\leq |B|</math> ולפי ק.ש.ב נסיק כי במקרה זה <math>|B|=|D|</math> וסיימנו. *אם <math>|B\setminus D|\geq |D|</math> נראה כי נגיע לסתירה, ולכן מקרה זה בלתי אפשרי: **ניקח תת קבוצה <math>U\subseteq B\setminus D</math> כך ש <math>|U|=|D|</math>. **לכן <math>|(U\times D) \cup (D\times U) \cup (U\times U)|=|D|+|D|+|D|=|D|</math> (הרי ראינו מקודם כי <math>|D|+|D|=|D|</math>) **לכן קיימת פונקציה הפיכה <math>g:(U\times D) \cup (D\times U) \cup (U\times U)\to U</math>. **האיחוד <math>h=f\cup g</math> הוא פונקציה הפיכה <math>h:(U\cup D)\times (U\cup D)\to (U\cup D)</math>, ולכן <math>h\in S</math>. **ניתן להוסיף את <math>h</math> לשרשרת <math>M</math> ולהגדיל אותה, בסתירה למקסימליות שלה. <videoflash>e6cBpbJzs2A</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)