לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חדוא 1 - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 4 - פונקציות ורציפות== ===מבוא לגבולות=== <videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash> *מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים). **<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math> **<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math> **<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math> **<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x</math> **<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math> ===הגדרת הגבול לפי קושי=== * <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y. *דוגמאות: **<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math> **<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math> **<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math> <videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash> ===הגדרת הגבול לפי היינה=== *<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math> *<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math> *<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math> הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה. *מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות *<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> <videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash> ===הפונקציות הטריגונומטריות=== *הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה. **<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math> **<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math> **<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math> **<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math> <videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash> *[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]] **עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש: **<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math> **<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math> ***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>. ***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים. ***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>. **נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל: **<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math> **לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math> **כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1. *ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>. *שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף. <videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash> ===רציפות=== *רציפות. *הגדרה: *פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math> *טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>. <videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash> <videoflash>76vmO8IBYKQ</videoflash> *גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות. **<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>. *הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>. **הוכחה: **תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> **לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>. <videoflash>FA_XRcitd64</videoflash> *פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה). **פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל **הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math> *טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>. **הוכחה: **תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math> **יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>. **אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>. **מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>. **לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>. <videoflash>qjSueXDanYs</videoflash> ===אי רציפות=== *מיון אי רציפות. **רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה. **סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה. **קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה. **עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי. <videoflash>3zwjxNNr5tc</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)