לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מכפלה פנימית מושרית
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הזהויות הפולריות== יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, ונביט בנורמה המושרית <math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>. כפי שהוכחנו, הנורמה מקיימת את כלל המקבילית. לכן לכל שני וקטורים <math>x,y\in V</math> מתקיים כי: <math>||x+y||^2 =2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 </math> ולכן <math>\langle x+y,x+y\rangle + \langle x-y,x-y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2</math> <math>\langle x,x\rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2</math> <math>||x||^2 + \langle x,y \rangle + \overline{\langle x,y\rangle } +||y||^2 = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2</math> וסה"כ נקבל כי <math>2 Re \left(\langle x,y \rangle\right) = ||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2</math> <math> Re \left(\langle x,y \rangle\right) = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2}</math> מעל הממשיים, זו בדיוק הנוסחא שקיבלנו באמצעות משפט הקוסינוסים! (זו נקראת הזהות הפולרית הממשית). מעל המרוכבים עלינו למצוא גם את החלק המדומה של המכפלה הפנימית על מנת לקבל את הזהות הפולרית הכללית. כעת, נשים לב כי <math>Re \left(\langle x,iy \rangle\right)=Re \left(\overline{i}\langle x,y \rangle\right) =Re \left(-i\langle x,y \rangle\right)=Im \left(\langle x,y \rangle\right)</math> שכן לכל מספר מרוכב מתקיים כי <math>Re(i\cdot z) = -Im (z)</math> ביחד אנחנו מוכנים כעת להסיק את הזהות הפולרית: <math>\langle x,y\rangle = Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Im\left(\langle x,y \rangle\right) = </math> <math> =Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Re\left(\langle x,iy \rangle\right) </math> וסה"כ '''הזהות הפולרית''' היא :<math>\langle x,y\rangle=\frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} + i\cdot \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-iy||^2}{2}</math> שימו לב כי <math>||iy||^2=(|i|\cdot ||y||)^2 = ||y||^2</math> עד כה אנו למדים כי מתוך הנורמה המושרית המכפלה הפנימית נקבעת באופן יחיד (הן בממשיים והן במרוכבים). אך נותר לנו להוכיח כי המכפלה המוגדרת ע"י הנוסחא הפולרית היא אכן מכפלה פנימית, וכך נעשה בסעיפים הבאים.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)