לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=טורי פונקציות= נאמר שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס ל-<math>S(x)</math> במ"ש על I אם <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x)</math> במ"ש על I. '''הגדרה:''' הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>\left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>. ==משפט 6== הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I. ===הוכחה=== לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם <math>\{S_N(x)\}</math> קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>, שמתקיים אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math> וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. {{משל}} ==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של ויירשטראס, Weierstrass M-test)}}== נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I. ===הוכחה=== נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon</math>, כלומר <math>\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> (כי <math>M_k\ge0</math>). כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|=\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור <math>\sum f_n(x)</math> במ"ש על I. {{משל}} ===מסקנה=== בתנאים של מבחן ויירשראס, אם <math>x\in I</math> אזי <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס בהחלט. ====הוכחה==== נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי הנתון <math>\forall n:\ |f_n(x)|\le M_n</math> וכן <math>\sum M_n</math> מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה <math>\sum |f_n(x)|</math> מתכנס. {{משל}} ====דוגמה==== נוכיח שהטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס נקודתית בקטע <math>(-1,1)</math> אבל לא במ"ש ונוכיח שאם <math>0<r<1</math> הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[-r,r]</math>: כבר הוכחנו שאם <math>-1<x<1</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס ל-<math>\frac1{1-x}</math>. נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי <math>S_N</math> חסום בקטע <math>(-1,1)</math>: <math>|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N</math>. אם היה נכון ש-<math>S_N(x)\to\frac1{1-x}</math> במ"ש ב-<math>(-1,1)</math> היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה <math>\frac1{1-x}</math> חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. נותר להוכיח שאם <math>r\in(0,1)</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> במ"ש על <math>[-r,r]</math>. ובכן בקטע <math>[-r,r]</math> מתקייים <math>|x^n|\le r^n=M_n</math> כאן <math>\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}</math>. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן ויירשראס אומר ש-<math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[-r,r]</math>. {{משל}} ==משפט 8== נניח ש-<math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> אז גם S רציפה ב-<math>x_0</math>. ===הוכחה=== לכל N הסכום החלקי <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)</math> סכום סופי של פונקציות רציפות ב-<math>x_0</math>. מאינפי 1 ידוע ש-<math>S_N(x)</math> רציפה ב-<math>x_0</math> עבור כל N. נתון <math>S_N\to S</math> במ"ש על I. לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-<math>x_0</math>. {{משל}} ===מסקנה=== בתנאים של משפט 8, אם כל <math>f_n</math> רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו. ==משפט 9== נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f</math>. ===הוכחה=== כרגיל נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N</math> ונתון <math>S_N\to S</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול <math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n</math>, והוא שווה ל-<math>\int\limits_a^b S</math>. {{משל}} ==משפט 10== יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח: * עבור נקודה <math>x_0\in I</math> אחת לפחות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)</math> מתכנס. * טור הנגזרות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש לפונקציה s על I. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'=s</math>. בפרט, בתנאים אלה <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>. {{המשך סיכום|תאריך=17.5.11}} ===הוכחה=== נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N=\sum_{n=1}^N f_n</math>. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה <math>x=x_0</math> קיים <math>\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math>. הנתון השני אומר שקיים <math>s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x)</math> במ"ש ב-I. ז"א הסדרה <math>\{S_N(x)\}</math> מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math> ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-<math>S'=s</math>. עתה <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> וכן <math>s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. מכיוון ש-<math>S'=s</math> נסיק <math>\frac{\mathrm {d}}{\mathrm {dx}}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\frac{\mathrm {d}}{\mathrm {dx}}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. {{משל}} ===דוגמה ממבחן=== לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל <math>x\in\mathbb R</math>) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל <math>x\in\mathbb R</math>. ====פתרון==== לפי מבחן ה-M של ויירשראס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: <math>\forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3}</math>. כעת <math>\sum\frac1{n^3}</math> מתכנס, לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math>, כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש-<math>S'</math> קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס בכל נקודה ב-<math>\mathbb R</math> וכן הטור הגזור איבר-איבר הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. לכל n מתקיים <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2}</math> ו-<math>\sum\frac1{n^2}</math> מתכנס. ע"י מבחן ה-M של ויירשראס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math> ולכן <math>S'</math> קיימת ובפרט <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. ברור כי <math>\frac{\cos(nx)}{n^2}</math> רציפה ב-<math>\mathbb R</math> ולכן, מכיוון שההתכנסות ל-<math>S'</math> במ"ש, גם <math>S'</math> רציפה (לפי משפט 8). {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)