לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תרגול 3 מדמח קיץ תשעז
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הכללות== ===הכללה פשוטה 1=== הכללה ישירה מתבצעת כך (החלפה רק של הטענה הראשונה): אם נוכיח עבור טענה <math>P(n)</math> ש: * הטענה מתקיימת עבור <math>n=k</math> מסוים כלומר <math>P(k)</math> מתקיים * '''אם''' הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר <math>P(n)\Rightarrow P(n+1)</math>. אז באופן דומה הטענה נכונה <math>P(n)</math> נכונה עבור <math>n\geq k</math> כלומר - במקום להוכיח עבור <math>n=1</math> ואז הטענה מתקיים החל מ-1 ניתן להוכיח עבור <math>n=k</math> ואז הטענה מתקיים החל מ-k דוגמא: הוכח כי לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>(1+x)^n > 1+nx</math> לכל <math>n\geq 2</math> פתרון: עבור <math>n=2</math> נקבל <math>(1+x)^2 = 1+2x+x^2>1+2x</math> כי <math>x>0</math> כעת נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n</math> כלשהוא, כלומר מתקיים <math>(1+x)^n > 1+nx</math> נוכיח עבור <math>n+1</math> מהנחת האינדוקציה נקבל כי <math> (1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x)>(1+nx) (1+x)= 1+nx +x+nx^2 > 1+x+nx =1+ (n+1)x </math> וסיימנו ===הכללה פשוטה 2 === אם נוכיח עבור טענה <math>P(n)</math> ש: * הטענה מתקיימת עבור <math>n=1</math> מסוים כלומר <math>P(1)</math> מתקיים * '''אם''' הטענה נכונה עבור כל המספרים עד מספר טבעי מסוים <math>n</math> (כלומר מתקיים <math>P(m)</math> עבור <math>m\leq n</math>) אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו (כלומר <math>P(n+1)</math> מתקיים). אז באופן דומה הטענה נכונה <math>P(n)</math> נכונה עבור <math>n\geq 1</math> כלומר - אפשר להחליף את ההנחה שמתקיים עבור <math>n</math> ולהוכיח עבור <math>n+1</math> בהנחה שמתקיים עבור כל מי ש'''קטן שווה''' <math>n</math> ולהוכיח עבור <math>n+1</math> דוגמא: כל מספר טבעי <math>1<n </math> ניתן להציגו כמכפלה של מספרים ראשוניים הוכחה: עבור <math>n=2</math> זה נכון כי 2 ראשוני ואז הוא הפירוק של עצמו. כעת נניח שהטענה נכונה לכל <math>1<k\leq n</math> ונוכיח עבור <math>n+1</math> אם <math>n+1</math> ראשוני - סיימנו כי אז הוא הפירוק של עצמו. אחרת <math>n+1</math> מתפרק למכפלה <math>n+1=ab</math> כאשר <math>1<a,b<n+1</math> לפי הנחת האינדוקציה <math>a,b</math> מתפרקים למכפלה של מספרים ראשוניים <math>a=\Pi_{k=1}^l p_k,b=\Pi_{i=1}^r q_i</math> כאשר <math>p_k,q_i</math> ראשוניים ואז <math>n+1=ab=\Pi_{k=1}^l p_k\cdot \Pi_{i=1}^r q_i</math> וסיימנו === הכללה מעמיקה === תהא <math>A</math> קבוצה סדורה היטב (נסמן את היחס שלה ב<math>\leq</math>) בת מניה אז ניתן להוכיח שטענה <math>P</math> מתקיימת לכל <math>a\in A</math> ע"י הוכחת הטענה הבא: * '''אם''' הטענה <math>P </math> נכונה עבור <math>m<n</math> אז הטענה נכונה עבור <math>n</math>. למה זה עובד? נניח בשלילה כי הטענה <math>P</math> לא מתקיימת לכל <math>a\in A</math> אזי נגדיר <math>D:=\{a\in A | P(a)=FALSE \}</math> - קבוצת כל האיברים ב <math>A</math> שעבורם הטענה אינה נכונה. מהנחת השלילה <math>D\neq \emptyset</math>. כיוון ש <math>A</math> סדורה היטב אזי קיים ב <math>D</math> מינימום, נסמנו <math>d</math>. לפי הגדרת מינימום והגדרת <math>D</math> נובע כי לכל <math>m<d</math> הטענה נכונה (אם היה <math>m<d</math> שהטענה לא נכונה לגביו אזי הוא היה בקבוצה <math>D</math> ואז זה היה סתירה לכך ש <math>d</math> מינימום של קבוצה זאת). אבל אם זה כך אז לפי הטענה שמוכיחים זה גורר כי <math>d</math> כן מתקיים. סתירה. ולכן הטענה נכונה לכל <math>a\in A</math> הערה: אפשר לעשות אינדוקציה הנקראת אינדוקציה טרנספניטית על קבוצות כלשהן (לאו דווקא בנות מניה)
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)