לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
89-214 סמסטר א' תשעא/תקצירים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== הרצאה ששית == תת-חבורה H של G המקיימת את התנאי <math>\ aHa^{-1} \subset H</math> לכל <math>\ a\in G</math>, (או כל אחד מהתנאים השקולים לכך) נקראת '''תת-חבורה נורמלית'''. אם <math>\ N\leq G</math> תת-חבורה נורמלית, מסמנים <math>\ N \triangleleft G</math>. הוכחנו שתת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם הפעולה הטבעית של כפל קוסטים - מוגדרת היטב. את האוסף הזה אפשר להפוך לחבורה, הקרויה '''חבורת המנה''', <math>\ G/N</math>. כמובן, <math>\ |G/N| = [G:N]</math>. קיומה של חבורת המנה מאפשר להוכיח קריטריון נוסף: תת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם היא גרעין להומומורפיזם כלשהו (ההעתקה <math>\ \theta : G \rightarrow G/N</math> לפי <math>\ \theta(x) = xN</math> היא הומומורפיזם, ו- <math>\ \operatorname{Ker}(\theta) = N</math>). כלומר: תת-חבורות נורמליות של G = גרעינים של הומומורפיזמים מ-G. הוכחנו את '''משפט האיזומורפיזם הראשון''': לכל הומומורפיזם <math>\ \phi : G \rightarrow H</math>, <math>\ G/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)</math>. מעכשיו, אם נרצה להוכיח ש- <math>\ G/K \cong H</math>, מספיק יהיה לבנות אפימורפיזם (=הומומורפיזם על( <math>\ G \rightarrow H</math> שהגרעין שלו הוא K. ראינו שנורמליות מחלחלת כלפי מטה: אם <math>\ K \triangleleft G</math> ו- <math>\ H \leq G</math>, אז <math>\ K \cap H \triangleleft H</math>. בפרט (אם מניחים <math>\ K \sub H</math>) נורמליות עוברת בתורשה לתת-חבורה. מאידך, נורמליות אינה טרנזיטיבית: יתכן ש- <math>N \triangleleft H \triangleleft G</math> ובכל זאת <math>\ N \not \triangleleft G</math>. אם <math>\ N \triangleleft G</math> ו- <math>\ H \leq G</math> אז <math>\ NH</math> תמיד תת-חבורה; יתרה מזו, המכפלה של תת-חבורות נורמליות היא נורמלית. הגדרנו מתי חבורה G היא '''מכפלה ישרה פנימית''' של שתי תת-חבורות שלה (הן צריכות להיות נורמליות, בעלות חיתוך טריוויאלי, וכך שמכפלתן היא כל החבורה). הוכחנו שכל מכפלה ישרה חיצונית היא גם מכפלה ישרה פנימית, ושמכפלה ישרה פנימית איזומורפית למכפלה ישרה חיצונית של תת-החבורות.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)