לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חדוא 1 - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 5 - גזירות== <videoflash>7FYVQ_fGyNE</videoflash> ===הגדרת הנגזרת=== *<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> *<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> **הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל: **נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך. **תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>. **כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>. *אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה: **צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> **לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math> **לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math> *פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס **<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים. **ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס. <videoflash>nukvxlHm2kQ</videoflash> ===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות=== *טריגו: **<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math> **<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math> **באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math> *לוג: **<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e) </math> ***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה. ***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.) **<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math> ***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math> *אקספוננט: **<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math> **<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math> ***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>. <videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash> <videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash> *ישר: **<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math> ===חוקי הגזירה=== *תהיינה f,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי: **<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math> **<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math> **<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math> <videoflash>iiF0siIWius</videoflash> תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי f הגזירה ב<math>g(x_0)</math>: *<math>(f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}</math> *תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>. *רוצים לומר ש<math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{g(x_n)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>. *אמנם <math>g(x_n)\to g(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>g(x_n)\neq g(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס. *אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>g(a_n)=g(x_0)</math> אזי <math>\frac{g(a_n)-g(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>g'(x_0)=0</math>. *לכן <math>f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=0</math>. *כמו כן, <math>\frac{f(g(a_n))-f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>. *לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math> *סה"כ <math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>. <videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash> ===נגזרת של חזקה=== *עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math> *עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, <math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> גם עבור <math>x\leq 0</math> (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר). *חזקה: **<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך. *בפרט: **<math>(1)'=0</math> **<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math> **<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> ** עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x. <videoflash>UQnqIRrf12E</videoflash> *דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math> ===נגזרת מנה=== תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>: *נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math> *אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math> <videoflash>Iag0TdjdFnM</videoflash> ===פונקציות הופכיות ונגזרתן=== *טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>. :אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי :<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר- :<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math> **הוכחה: **<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math> **תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>. **אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math> **<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math> *דוגמא חשובה: *<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>. *<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math> *<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math> *הנגזרות של <math>arcsin,arccos</math> <videoflash>n9WMYrhb-6I</videoflash> <videoflash>sryeJtePu_U</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)