לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== פונקציות זוגיות ואי־זוגיות === '''תכונות:''' *מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית. *מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית. *מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית. ====משפט==== תהי <math>f\in E</math>. *אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים". *אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים". ====תרגיל==== מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}-2&:\!x<0\\1&:\!x\ge0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>. =====פתרון===== ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים :<math>\begin{align}a_0&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 -2\,dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi dx=\frac{1}{\pi}[-2x]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}[x]_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&:\!n\in2\Z\\\dfrac{6}{\pi n}&:\!n\in2\Z+1\end{cases}\end{align}</math> ולכן <math>f(x)\sim-\dfrac12+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה. ====תרגיל==== מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>. =====פתרון===== <math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: :<math>\begin{align}b_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi+\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n}dx=\frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align}</math> כלומר <math>x\sim\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>. ====תרגיל==== נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\C</math> נגדיר :<math>G(a,b,c)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|dx</math> עבור אלה ערכי <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי? =====פתרון===== נשים לב כי <math>G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגונלי של <math>f</math> אזי מובטח לנו כי <math>G(a,b,c)</math> מקבלת את ערכה המינימלי. נפתור זאת: :<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx}{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi dx}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)dx\end{align}</math> ---- נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאבר <math>x=\left\{\dfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים :<math>\displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math> אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן <math>\|x\|_2=\frac{4}{\sqrt{85}}</math>. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)