לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== דגימה והתמרת פורייה בדידה == * <math>f\in G(\mathbb R)</math> נקראת "חסומה בתדר" אם <math>\exists L>0:\ \forall |\omega|>L:\ \hat f(\omega)=0</math>. ה־<math>L</math> המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של <math>f</math>. * נניח כי <math>f</math> חסומה בתדר ובעלת רוחב פס <math>L</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ f(x)=\sum_{n\to-\infty}^\infty f\!\left(\frac{\pi n}L\right)\frac{\sin(Lx-\pi n)}{Lx-\pi n}</math>. * '''התמרת פורייה בדידה (DFT):''' בהינתן סדרה <math>x=\{x_0,x_1,\dots,x_{N-1}\}</math> של <math>N</math> נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י <math>\forall k:\ \mathcal F_N(x)_k=X_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m w^{mk}</math> כאשר <math>w:=\mathrm e^{-2\pi\mathrm i/N}</math>. זו התמרה של <math>N</math> נקודות ל־<math>N</math> נקודות אחרות. * '''ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT)''' נותנת את ערכי הסדרה המקורית <math>x</math> לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה <math>X</math> שלה: <math>\forall k:\ \mathcal F_N^{-1}(X)_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} X_m w^{-mk}</math>. * <math>\mathcal F_N(ax+by)=a\mathcal F_N(x)+b\mathcal F_N(y)</math> * <math>X_k=X_{k+N}</math> * '''קונבולוציה:''' בהנתן שתי סדרות <math>x,y</math> בעלות מחזור <math>N</math> הקונבולוציה מוגדרת ע״י <math>(x*y)_k:=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m y_{k-m}</math>. * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\mathcal F_N(x*y)=\mathcal F_N(x)\cdot\mathcal F_N(y)=X\cdot Y</math> (כאשר הכפל מתבצע איבר־איבר). * '''מטריצת DFT:''' התמרת פורייה הבדידה הינה לינארית, לכן קל להגדיר אותה באמצעות מטריצה <math>W</math> שתקיים <math>X=Wx</math>. המטריצה מוגדרת כ־<math>W=\frac1\sqrt N\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&w&w^2&\dots&w^{N-1}\\1&w^2&w^{2\cdot2}&\cdots&w^{2(N-1)}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&w^{N-1}&w^{2(N-1)}&\cdots&w^{(N-1)^2}\end{pmatrix}=\left(\frac{w^{(i-1)\cdot(j-1)}}\sqrt N\right)_{1\le i,j\le N}</math>, וזו מטריצה יוניטרית (כלומר <math>W^{-1}=\overline W^\top</math>) וסימטרית. * '''FFT – Fast Fourier Transform:''' בעוד שחישוב על פי ההגדרה של התמרת פורייה בדידה הוא בעל סיבוכיות זמן ריצה <math>O(N^2)</math>, תהליכי FFT עושים זאת ב־<math>O(N\log(N))</math>. יש מספר שיטות כאלו, אנו למדנו רק את [http://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm תהליך Cooley–Tukey]. הפירוט אינו מופיע כאן, אלא בקישור הנ״ל לוויקפדיה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)