לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מכפלה פנימית מושרית
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה הממשי== יהי <math>V</math> מרחב נורמי ממשי, עם נורמה המקיימת את כלל המקבילית. נגדיר את המכפלה <math>\langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2}</math> נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו. ראשית נשים לב לפיתוח הבא: <math>\langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2}= \frac{2||x||^2 +2||y||^2 -2||x-y||^2 }{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4}</math> כאשר המעבר האחרון הוא בזכות כלל המקבילית ===אדטיביות=== ראשית נוכיח כי <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math> לפי הפיתוח שראינו מתקיים כי: <math>4\langle x+y,z\rangle = ||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2</math> וכן <math>4\langle x,z\rangle+4\langle y,z\rangle = ||x+z||^2 -||x-z||^2 +||y+z||^2 -||y-z||^2</math> ולכן עלינו להוכיח כי <math>||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 = ||x+z||^2 -||x-z||^2 +||y+z||^2 -||y-z||^2</math> נעביר אגף, ונקבל שעלינו להוכיח כי <math>||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 - ||x+z||^2 +||x-z||^2 -||y+z||^2 +||y-z||^2 =0</math> נפעיל את כלל המקבילית על ארבעת זוגות הוקטורים הבאים: <math>\{x+y+z,x-z\} , \{x+y-z,x+z\}, \{y+z,z\} , \{y-z,z\}</math> ונקבל את ארבע המשוואות: <math>||2x+y||^2 +||y+2z||^2 = 2||x+y+z||^2 + 2||x-z||^2 </math> <math>||2x+y||^2 +||y-2z||^2 = 2||x+y-z||^2 + 2||x+z||^2 </math> <math>||y+2z||^2 +||y||^2 = 2||y+z||^2 +2||z||^2</math> <math>||y||^2 +||y-2z||^2 = 2||y-z||^2 +2||z||^2</math> כעת ניקח את המשוואה הראשונה, פחות השנייה, פחות השלישית ועוד הרביעית (קל). כל הצד השמאלי יתאפס ונקבל סה"כ: <math>0 = 2||x+y+z||^2 + 2||x-z||^2 - 2||x+y-z||^2 - 2||x+z||^2 - 2||y+z||^2 + 2||y-z||^2</math> נחלק ב2 ונקבל בדיוק את מה שהיה צריך להוכיח. ===כפל בסקלר=== נוכיח כי לכל סקלר <math>c</math> מתקיים כי <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math> ראשית, מהאדטיביות ניתן להסיק כי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>\langle nx, y\rangle=\langle x+\cdots +x, y\rangle = \langle x, y\rangle+\cdots +\langle x, y\rangle=n\langle x, y\rangle</math> נשים לב כי <math>\langle x,y\rangle+\langle -x,y\rangle=\langle x-x,y\rangle =\langle 0, y\rangle</math> וכן מהצבה ישירה <math>\langle 0,y\rangle = \frac{||0+y||^2 =||0-y||^2}{4} =0</math> ולכן נובע כי <math>\langle -x,y\rangle = -\langle x,y\rangle</math> מכאן באופן דומה לטבעיים ניתן להסיק כי לכל <math>p\in \mathbb{Z}</math> מתקיים כי <math>\langle px,y\rangle = p\langle x,y\rangle</math> כמו כן לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי: <math>\langle x,y\rangle =\langle n\cdot \frac{1}{n} x,y\rangle = n\langle \frac{1}{n}x,y\rangle</math> ולכן <math>\frac{1}{n} \langle x,y\rangle = \langle \frac{1}{n}x,y\rangle</math> וביחד אנחנו מקבלים כי לכל <math>\frac{p}{n}\in\mathbb{Q}</math> מתקיים כי: <math>\langle \frac{p}{n}x,y\rangle = p\langle \frac{1}{n}x,y\rangle =\frac{p}{n}\langle x,y\rangle</math> לבסוף, יהי <math>c\in\mathbb{R}</math>. ניקח סדרה <math>c_n\in\mathbb{Q}</math> כך ש <math>c_n\to c</math> לכן <math>\langle c_n x,y\rangle=c_n \langle x,y\rangle \to c\langle x,y\rangle</math> מצד שני <math>\langle cx,y\rangle - \langle c_n x,y\rangle = \langle cx,y\rangle + \langle -c_n x,y\rangle = \langle (c-c_n)x,y\rangle</math> כעת לפי אי שיוויון המשולש נקבל כי <math>||(c-c_n)x+y||\leq ||(c-c_n)x||+||y||=|c-c_n|\cdot ||x||+||y||\to ||y||</math> לכן סה"כ <math>\langle (c-c_n)x,y\rangle=\frac{||(c-c_n)x+y||^2 - ||(c-c_n)x-y||^2}{4}\to \frac{||y||^2-||y||^2}{4} =0</math> כלומר קיבלנו כי <math>\langle c_n x,y\rangle \to \langle cx,y\rangle</math> ויחד עם העובדה שראינו למעלה כי <math>\langle c_n x,y\rangle\to c\langle x,y\rangle</math> סה"כ נקבל כי <math>\langle cx,y\rangle=c\langle x,y\rangle</math> כפי שרצינו. ===סימטריות=== כיוון שמדובר בממשיים, עלינו להוכיח כי <math>\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle</math> אבל זה נובע באופן מיידי מהחישוב הבא: <math>||x-y||^2 = ||-(y-x)||^2 = (|-1|\cdot ||y-x||)^2=||y-x||^2</math> כיוון ש <math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||y-x||^2}{4} = \langle y,x\rangle</math> ===אי שליליות=== נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו <math>\langle x,x\rangle = \frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} = \frac{||2x||^2}{4} = \frac{4||x||^2}{4} = ||x||^2</math> מתכונות הנורמה נובע כי <math>\langle x,x\rangle =||x||^2 \geq 0</math> ושיוויון לאפס אם ורק אם <math>x=0</math> כמו כן נשים לב שמתקיים <math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה שלנו היא אכן נורמה המושרית מהמכפלה הפנימית שייצרנו.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)