לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==דוגמאות== # נמצא את טור מקלורין <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math> של הפונקציה <math>f(x)=\frac1{1-x}</math>: ידוע לנו ש-<math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math> עבור <math>|x|<1</math>. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f. {{משל}} # נמצא טור טיילור של <math>f(x)=\frac1{1-x}</math> סביב <math>x_0=\frac12</math>, ז"א <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n</math>.<br/>''דרך 1:'' {{left|<math>\begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\&\;\;\vdots\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}</math>}}נציב <math>x=\frac12</math> לקבל <math>f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1}</math> ולכן הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math>. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.<br/>''דרך 2:'' <math>\frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n</math>. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר <math>\left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1</math>, כלומר כש-<math>\left|x-\frac12\right|<\frac12</math>. {{משל}}<br/>''נסכם:'' <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math> בקטע <math>(0,1)</math> ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה. # נמצא את טור מקלורין של <math>f(x)=\arctan(x)</math>, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.<br/>''דרך 1:'' טור מקלורין הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>, כאשר {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}</math>}}מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.<br/>''דרך 2:'' תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה <math>g(x)=\frac1{1+x^2}</math> ואז נוכל לקבל את הטור עבור <math>\arctan(x)</math> ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: <math>\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}</math> עבור <math>\left|-x^2\right|<1</math>, ז"א <math>|x|<1</math>. עתה נעשה אינטגרציה: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt</math> לכל <math>|x|<1</math>, ולכן <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של <math>\arctan</math> בתחום <math>(-1,1)</math>. {{משל}} אם מותר להציב <math>x=1</math> אז נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots</math>, אבל מכיוון שלא מתקיים <math>|1|<1</math> צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-<math>\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)</math>. # מצאו את טור טיילור ל-<math>\ln(x)</math> סביב <math>x_0=1</math> וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-<math>\ln(x)</math>.<br/>''דרך 1:'' לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n</math> ואז נבדוק מתי השארית <math>R_N(x)</math> שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).<br/>''דרך 2:'' <math>\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t</math> ולכן תחילה נפתח <math>\frac1x</math>: <math>\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n</math> כאשר <math>|x-1|<1</math>. כעת <math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> בתחום <math>|x-1|<1</math>. {{משל}} עבור <math>x=2</math> לא מתקיים <math>|x-1|<1</math>, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל <math>\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots</math> (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון). # {{הערה|(תרגיל ממבחן)}} נגדיר <math>f(x)=x^7e^{-x^2}</math>. מצאו <math>f^{(19)}(0)</math>: לכל <math>t\in\mathbb R</math> מתקיים <math>e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math> ונציב <math>t=-x^2</math> לקבל <math>f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}</math>. לפי משפט 4 המקדם <math>a_{19}</math> של <math>x^{19}</math> מקיים <math>a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}</math> ולכן <math>f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}</math>. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)