לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
83-116 בדידה להנדסה סמסטר א' תשע"ט
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
====שאלה==== תהי <math>f:\mathbb{Z}_a\to \mathbb{Z}_b</math> המוגדרת ע"י <math>f([k]_a)=[k]_b</math> (עבור <math>a,b\geq 2</math>). מה הקריטריון לכך שהיא פונקציה? '''במסגנון אחר:''' תהי <math>f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_b</math> פונקציה המוגדרת ע"י <math>f(k)=[k]_b</math> (עבור <math>a,b\geq 2</math>). מה הקריטריון לכך שהיא מוגדרת היטב על קבוצת המנה <math>\mathbb{Z}_a</math>? =====תשובה===== נלך לפי הסגנון השני, ונטען: <math>f</math> מוגדרת היטב על קבוצת המנה <math>\mathbb{Z}_a</math> אם ורק אם <math>b|a</math> (כלומר, קיים <math>m\in \mathbb{Z}:a=mb</math>). הוכחה: '''משמאל לימין:''' נניח שאכן <math>b|a</math> (כלומר, <math>\exists m\in \mathbb{Z}:a=mb</math>), ונוכיח שהיא מוגדרת היטב, כלומר שהיא מכבדת את יחס השקילות מודולו <math>a</math>. ניזכר ביחס השקילות מודולו <math>a</math> שאומר שלכל <math>k_1,k_2\in \mathbb{Z}</math> מתקיים: <math>k_1 \stackrel{a}{\sim} k_2\iff a|k_1-k_2</math>, ומה שצריך להוכיח זה שאם <math>k_1 \stackrel{a}{\sim} k_2</math> אז <math>f(k_1)=f(k_2)</math>. לפי ההגדרה <math>f(k_1)=[k_1]_b,f(k_2)=[k_2]_b</math>, ולכן מה שצריך להוכיח זה את שיוויון מחלקות השקילות. אבל שתי מחלקות שקילות שוות אם ורק אם הנציגים שקולים, לכן מה שצריך להוכיח זה ש <math>k_1 \stackrel{b}{\sim} k_2</math> שזה שקול ללהוכיח <math>b|k_1-k_2</math>. נסכם: נתון לנו ש <math>b|a</math>, ובנוסף הנחנו ש- <math>k_1 \stackrel{a}{\sim} k_2</math> כלומר, <math>a|k_1-k_2</math>. וצריך להוכיח <math>b|k_1-k_2</math>. הדבר נובע ישירות מכך שהיחס "מחלק את" הוא טרנזיטיבי: אם <math>b|a</math> אז <math>\exists m\in \mathbb{Z}:a=mb</math>, ואם <math>a|k_1-k_2</math> אז <math>\exists t\in \mathbb{Z}:k_1-k_2=ta</math>, ולכן בסה"כ: <math>\exists tm\in \mathbb{Z}:k_1-k_2=(tm)\cdot b</math> מה שאומר <math>b|k_1-k_2</math>. '''מימין לשמאל:''' נלך בשיטה של להוכיח אם לא שמאל אז לא ימין. נניח ש<math>b</math> לא מחלק את <math>a</math> ונראה שהפונקציה לא מכבדת את יחס השקיילות מודולו <math>a</math>. מהעובדה ש<math>b</math> לא מחלק את <math>a</math> נובע ש-<math>a</math> לא שקול ל<math>0</math> מודולו <math>b</math>. אבל כמובן <math>a</math> שקול ל<math>0</math> מודולו <math>a</math>, ולכן מצאנו שני מספרים שקולים מודולו <math>a</math> כלומר, <math>a \stackrel{a}{\sim} 0</math>, שהפונקציה שולחת אותם לשני איברים שונים: <math>f(a)=[a]_b\neq [0]_b=f(0)</math>, ולכן הפונקציה לא מכבדת את יחס השקילות.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)