לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
89-214 סמסטר א' תשעב/תקצירים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== הרצאה שביעית == הוכחנו, שוב בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון, את משפט האיזומורפיזם השלישי (אם <math>\ K \leq N \leq G</math> ושתיהן נורמליות ב-G, אז <math>\ (G/K)/(N/K) \cong G/N</math>). הסברנו את ההתאמה בין אוסף תת-החבורות של G המכילות תת-חבורה נורמלית K, לבין אוסף תת-החבורות של חבורת המנה G/K. ההתאמה הזו שומרת (בשני הכיוונים) על הכלה, ולכן היא חד-חד-ערכית ושומרת על חיתוך ומכפלה. היא שומרת גם על נורמליות ועל מנות ואינדקסים. '''תרגיל'''. נסח את הטענות האלה במפורש, והוכח אחת או שתיים מהן. הגדרנו כמה מושגים הקשורים באברים מתחלפים: המרכז (מם צרויה) של חבורה G הוא אוסף האברים <math>\ Z(G)</math> המתחלפים עם כל אברי החבורה. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית. הראינו שהמרכז של החבורה הסימטרית הוא טריוויאלי. המרכז (ריש פתוחה) של איבר g הוא אוסף האברים המתחלפים איתו, והמרכז (כנ"ל) של תת-חבורה הוא אוסף האברים המתחלפים עם כל איבר בחבורה. '''תרגיל''': כתוב, כפסוק על אברים בלבד, את שלוש הטענות הבאות: <math>\ A \subseteq C_G(B)</math>; <math>\ AB = BA</math>; <math>\ A \triangleleft AB</math>. אברים x,g מתחלפים אם ורק אם הצמדת g על-ידי x אינה משנה את האיבר. ברוח זו, הגדרנו את יחס הצמידות על החבורה: שני אברים הם צמודים אם אפשר להגיע מאחד לשני על-ידי הצמדה, כלומר, הצמודים של x הם האברים מהצורה <math>\ g x g^{-1}</math>. הוכחנו שמספר האברים במחלקת הצמידות של a שווה לאינדקס <math>\ [G:C_G(a)]</math> של המרכז של האיבר בחבורה (ומכאן שמספר האברים הזה מחלק את סדר החבורה). הפירוק של חבורה לאיחוד של מחלקות צמידות קובע את '''שוויון המחלקות''' <math>\ |G|=|Z(G)|+\sum [G:C_G(x)]</math>, שבו הסכום באגף ימין הוא על נציג אחד מכל מחלקה של אברים לא מרכזיים (המחלקה של איבר מרכזי כוללת אותו בלבד). משוויון המחלקות מסיקים של"חבורת-p" (חבורה מסדר <math>\ p^n</math>) יש מרכז לא טריוויאלי. הראינו שאם G חבורה לא אבלית, אז המנה <math>\ G/Z(G)</math> אינה יכולה להיות ציקלית. בעזרת שתי התוצאות האחרונות אפשר למיין את כל החבורות מסדר <math>\ p^2</math> (כולן אבליות, ובהמשך נראה שיש רק שתיים כאלה - <math>\ \mathbb{Z}_{p^2}</math> ו- <math>\ \mathbb{Z}_p^2</math>), ואת כל החבורות הלא-אבליות מסדר <math>\ p^3</math> (יש שתיים).
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)