לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חדוא 1 - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 6 - חקירה== ===משפט ערך הביניים=== *תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>. *עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>. *אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math> *תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math> **נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה. **<math>h(1)>0</math>. **<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>. **לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h. <videoflash>WdKVN6R0NfU</videoflash> <videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash> ===משפטי ויירשטראס=== *פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה. *פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום. <videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash> ===משפט פרמה=== *אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס. *ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול. <videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash> ===משפט רול=== **תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math> *כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח. *לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים. <videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash> ===משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה=== *פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math> *פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math> *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> *כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע. *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> *כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math> <videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash> *דוגמא *יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math> <videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash> ===משפט קושי (לגראנז' המוכלל)=== *תהיינה f,g רציפות ב<math>[a,b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math>. *אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math> *הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי. **ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם. **<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math> **<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח. **(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.) **עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל. <videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash> ===[[כלל לופיטל]]=== *תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או <math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math> <videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash> ====משפט סדרי הגודל==== *לכל <math>0<a,b</math> מתקיים כי: *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math> ====דוגמאות נוספות==== *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{sin(x)+2+x} =1} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math> *<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math> ====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים==== <videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash> <videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash> אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]!
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)