לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
חתכי דדקינד
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==כפל חתכי דדקינד== *יהיו שני חתכי דדקינד '''אי שליליים''' <math>0_D\leq A,B</math>, נגדיר את הכפל: **<math>A\cdot B =\left\{x\cdot y|x\in A\setminus 0_D \wedge y\in B\setminus 0_D\right\}\cup 0_D</math> *אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר: **<math>A\cdot B = - ((-A)\cdot B)</math> *אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר: **<math>A\cdot B = - (A\cdot (-B))</math> *אם A,B שליליים נגדיר: **<math>A\cdot B = (-A)\cdot (-B)</math> ===הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד=== *יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים <math>0_D< A,B</math> *ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש <math>0_D\subseteq A\cdot B</math> *כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל <math>m_A,m_B</math> בהתאמה. *לכל <math>xy\in AB</math> מתקיים כי <math>x<m_A,y<m_B</math> ולכן <math>xy<m_A\cdot m_B</math>. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים. *אם <math>t\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל של <math>AB</math>. *אם <math>t\leq 0</math> ברור שאינו חסם מלעיל של <math>AB</math> כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים. *לכן <math>t=xy\in AB</math>. *כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math> בסתירה. *אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל. *נב"ש כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו. *כיוון ש <math>t\not\in AB</math> נובע כי <math>t>0</math>, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה <math>t<xy</math>. *לכן <math>\frac{t}{y}<x</math>, נבחר <math>x_1 =\frac{t}{y}<x</math>. *כיוון ש<math>x_1 <x</math> נובע כי <math>x_1 \in A</math>. *לכן <math>t=x_1 y\in A\cdot B</math> בסתירה. *אם אחד החתכים הוא <math>0_D</math> קל להוכיח כי מכפלתם היא <math>0_D</math> ולכן מהווה חתך. ===חתך היחידה=== *נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל. *<math>1_D=\{x\in\mathbb{Q}|x<1\}</math> ===הופכי=== *אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות *<math>A^{-1}=\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\not\in A:x<\frac{1}{m}\}</math> *אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות *<math>A^{-1}=-(-A)^{-1}</math> ====הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד==== *נניח A חיובי, ויהי <math>0<a\in A</math>. *לכל חסם <math>m\not\in A</math> מתקיים כי <math>a<m</math> *לפיכך <math>\frac{1}{m}<\frac{1}{a}</math> *לכן <math>\frac{1}{a}</math> הוא חסם מלעיל של <math>A^{-1}</math> *ברור כי <math>A^{-1}</math> אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך ל<math>A^{-1}</math> *נוכיח כי כל מספר ב<math>A^{-1}</math> אינו חסם מלעיל. *אם <math>x<\frac{1}{m}\in A^{-1}</math> אז גם אמצע הקטע <math>x<y<\frac{1}{m}\in A^{-1}</math> *לבסוף, יהי <math>x</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A^{-1}</math> *לכן <math>x<y\in A^{-1}</math> *והרי קיים חסם של A כך ש <math>y<\frac{1}{m}</math> *ולכן גם <math>x<\frac{1}{m}</math> ולכן <math>x\in A^{-1}</math> ====הוכחה שאכן מדובר בהופכי==== *יהי A חיובי, נוכיח כי <math>A^{-1}A=1</math> *ראשית, נוכיח כי <math>A^{-1}A\leq 1</math> **יהי <math>0<xa\in A^{-1}A</math> **<math>x\in A^{-1}</math>, לכן קיים חסם מלעיל <math>m\not\in A</math> כך ש <math>x<\frac{1}{m}</math> **כמובן ש <math>a<m</math> **ביחד <math>xa<\frac{1}{m}\cdot m=1</math>. *כעת נוכיח כי <math>A^{-1}A\geq 1</math> *צ"ל כי אפשר לבחור איבר <math>xa\in A^{-1}A</math> הקרוב ל1 כרצוננו. *נבחר <math>0<a\in A, m\not\in A</math> כך ש <math>a,m</math> קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע). *נבחר <math>x<\frac{1}{m}</math> כך ש<math>x,\frac{1}{m}</math> קרובים כרצוננו. *סה"כ <math>1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)</math> *כיוון שקבוצת החסמים <math>m</math> חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את <math>m-a</math> כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו. *לבסוף, אם <math>A</math> שלילי, <math>A^{-1}=-(-A)^{-1}</math> *לכן <math>A^{-1}A=-(-A)^{-1}\cdot A = (-A)^{-1}\cdot (-A)=1</math> **המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)