הצגת המקור של הדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/30.7.12"

=== פתרון ===
''הערה:'' פונקציה <math>g(x,y)</math> נקראת הומוגנית חיובית מסדר <math>k\in\mathbb R</math> אם לכל <math>\lambda>0</math> ולכל <math>(x,y)\dom(g)</math> מתקיים <math>\g(\lambda x,\lambda y)=\lambda^kg(x,y)</math>.

כאן <math>M(x,y)=x^2-y^2</math> ו־<math>N(x,y)=2xy</math> הומוגניות מסדר 2 ולכן המד״ר הומוגנית. במקרה <math>x\ne\ \and\ y\ne0</math> נביאה לצורה <math>y'=\frac{y^2-x^2}{2xy}=\frac{\left(\frac yx\right)^2-1}{2\frac yx}</math>. נציב <math>z=\frac yx</math> ואז <math>z\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=-\frac{z^2+1}{2z}</math>. הפתרון הכללי הוא <math>y=\pm x\sqrt{\left|\frac cx\right|-1}, x\ne0, \left|\frac cx\right|\ge1</math>, ומתנאי ההתחלה נובע ש־<math>y=x\sqrt{\frac2x-1}</math> עבור <math>0<x\le2</math>.