לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
שיחה:88-212 תשעב סמסטר ב/תרגילים
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
הוספת נושא
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
הוספת נושא
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== אידיאלים בחוג הפולינומים בשני משתנים === '''שאלה'''. "בהרצאה האחרונה הזכרת את החוג <math> \mathbb{C}[X,Y]</math> שבו יש פולינומים עם שני משתנים כאשר המקדמים שייכים לשדה המספרים המרוכבים. האם תוכל לומר לי בבקשה כיצד נראים איברי חוג המנה של החוג הזה מעל האידיאל <x^2+y^2-1>? '''תשובה'''. פורמלית זו שאלה די קלה. <math>\ \mathbb{C}[X,Y] = \mathbb[X][Y]</math>, כלומר, חוג הפולינומים במשתנה Y, שהמקדמים שלהם בעצמם פולינומים במשתנה X. חוג המנה הוא ביחס לאידיאל הנוצר על-ידי <math>\ Y^2+(X^2-1)</math>, כלומר, בחוג המנה מתקיים השוויון <math>\ Y^2 = 1-X^2</math>, ולכן אפשר להמיר כל חזקה זוגית של Y בפולינום ב-X, וכל חזקה אי-זוגית בכפולה של Y בפולינום כזה. לכן אפשר לכתוב כל איבר בחוג המנה (באופן יחיד) בצורה <math>\ f+gY</math> כאשר f,g פולינומים ב-X, והכפל הוא באופן המובן מאליו, עם החוק הנוסף <math>\ Y^2 = 1-X^2</math>. אבל השאלה הנכונה היא לא "איך נראים האיברים", אלא מהו החוג. האם החוג הזה הוא תחום שלמות? שדה? נראה שהוא תחום שלמות אבל אינו שדה. בחוגי פולינומים *מעל שדה* קל לטפל (כפי שעוד נלמד בהמשך), וגם במקרה שלנו כדאי להתחיל את התשובה בהכלה <math>\ \mathbb{C}[X][Y] \subset \mathbb{C}(X)[Y]</math>. היתרון הוא שעכשיו מדובר בפולינומים ב-Y, עם מקדמים מה*שדה* של הפונקציות הרציונליות ב-X. הפולינום שלנו אי-פריק מעל השדה הזה (אין לו שורשים שם: <math>\ \sqrt{1-X^2}</math> אינו פולינום), ולכן המנה <math>\ \mathbb{C}(X)[Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle</math> היא שדה. מכיוון שחוג המנה <math>\ \mathbb{C}[X,Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle</math> מוכל בחוג הקודם, הוא תחום שלמות, ולכן האידיאל שלנו ראשוני. אבל המנה אינה שדה, משום שהאידיאל הזה אינו מקסימלי: הוא מוכל למשל באידיאל המקסימלי <math>\ \langle X, Y-1\rangle</math> או ב-<math>\ \langle X-1, Y\rangle</math> (ובאינסוף אידיאלים מקסימליים אחרים). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:24, 21 באפריל 2012 (IDT)
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)