לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== משוואות פולינומיאליות === יהי <math>m>1</math> ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־<math>f(x)\equiv0\pmod m</math> כאשר <math>f\in\mathbb Z[x]</math>. * '''משוואה לינארית:''' <math>ax\equiv b</math>. קיים פתרון אם״ם <math>d:=(a,m)\mid b</math>. אם <math>x_0</math> פתרון פרטי של <math>ax\equiv b\pmod{m/d}</math> אז כל הפתרונות הם <math>x\equiv x_0+k\frac md\pmod m</math> כאשר <math>0\le k\le d-1</math>, ויש <math>d</math> פתרונות. * מגדירים <math>N_f(m)=|\{x\in\mathbb Z_m:\ f(x)\equiv0\pmod m\}|</math>. זו פונקציה כפלית אריתמטית. * '''שיטת הנזל:''' יהי <math>x_0</math> פתרון של <math>f(x)\equiv0\pmod{p^e}</math> כאשר <math>e\in\mathbb N^+</math> ונרצה לפתור <math>f(x)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו: :* <math>f'(x_0)\equiv0\pmod p</math>: לכל <math>0\le k\le p-1</math> המספרים <math>x_0+kp^e</math> (מודולו <math>p^{e+1}</math>) הם הפתרונות למשוואה אם״ם <math>f(x_0)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. :* <math>f'(x_0)\not\equiv0\pmod p</math>: לכן <math>\left(f'(x_0)\right)^{-1}\pmod p</math> קיים ו־<math>x_0+kp^e</math> עבור <math>k:\equiv-\left(f'(x_0)\right)^{-1}\frac{f(x_0)}{p^e}\pmod p</math> הוא הפתרון היחיד. * '''משפט בסונט:''' אם <math>x_0</math> שורש של <math>f(x)\equiv0\pmod m</math> אז קיימת <math>g\in\mathbb Z_m[x]</math> כך ש־<math>f(x)=(x-x_0)g(x)</math> ו־<math>\deg(g)<\deg(f)</math>. * '''חילוק פולינומים:''' אם <math>f,g\in\mathbb Z_m[x]</math> ו־<math>g</math> פולינום מתוקן אז קיימים <math>q,r\in\mathbb Z_m[x]</math> עבורם <math>f=g\cdot q+r</math> ו־<math>\deg(r)<\deg(g)</math>. * '''משפט לגראנז׳:''' ל־<math>f\in\mathbb Z_p[x]</math> יש לכל היותר <math>\deg(f)</math> שורשים. בנוסף, אם <math>g\in\mathbb Z[x]</math> כך של־<math>g(x)\equiv0\pmod m</math> יש יותר מ־<math>\deg(g)</math> שורשים אז אז כל המקדמים ב־<math>g</math> מתחלקים ב־<math>p</math>. :* {{הערה|הערה:}} המשפט לא מתקיים ל־<math>p</math> פריק. * <math>\prod_{a=0}^{p-1}(x-a)\equiv x^p-x\pmod p</math>. * ל־<math>f\in\mathbb Z_p[x]</math> יש <math>\deg\!\left(\gcd\!\left(f(x),x^p-x\right)\right)</math> שורשים שונים. בפרט, אם <math>\deg(f)\le p</math> אז ל־<math>f</math> יש <math>\deg(f)</math> שורשים שונים אם״ם <math>f(x)\mid x^p-x</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)