לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==שיטת הדירוג== כזכור, לבצע פעולות שורה על מטריצה זה כמו לכפול במטריצה אלמנטרית מתאימה. מכיוון ודטרמיננטה היא כפלית, והחישוב הדטרמיננטה של מטריצות אלמנטריות הוא פשוט, נקבל את הכללים הבאים: '''טענה''' תהי <math>B</math>מטריצה המתקבלת ממטריצה <math>A</math> ע" פעולת שורה, אזי: 1. אם <math>B</math> התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב<math>\alpha</math> אזי <math>|A|=\frac{1}{\alpha}|B|</math>. 2. אם <math>B</math> התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי <math>|A|=-|B|</math>. 3. אם <math>B</math> התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי <math>|A|=|B|</math>. אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה (צורה שבה קל מאוד לחשב דטרמיננטה), ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה. '''דוגמא''' <math>\begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222</math> '''דוגמא''' חשב את <math>|A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix} </math> פתרון ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל <math>|A|= \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix}</math> נחלק את השורה הראשונה ב<math>a+n-1</math> ונקבל: <math>|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}</math> כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל <math>|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}</math> ===תרגיל=== יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},\dots,v_{n}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{4},\dots,v_{n-1}+v_{n},v_{n}+v_{1}</math> בת"ל. === תרגיל === הוכיחו שלכל מטריצה <math>A\in\R^{n\times n}</math> שכל כניסה שווה ל <math>\pm 1</math> מתקיים כי <math>2^{n-1}|\det A</math> פתרון: פתרון לתרגיל נמצא בדפים ישנים - כך נכתב שם: <math> \left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0 \end{array}\right)\right|= </math> <math>\left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ 0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0 \end{array}\right)\right|=\cdots=\left|\left(\begin{array}{ccccc} \pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\ 0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\ 0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \pm2^{n-1},0 \end{array}\right)\right|</math> מה דעתכם על הפתרון? האם יש פתרון נוסף? האם ניתן לחזק את הטענה ל <math>2^{n}|\det A</math>? ===תרגיל=== נתונה מטריצה ריבועית <math>A\in F^{5\times 5}</math>, משנים את סדר השורות של <math>A</math>באופן הבא: את השורה הראשונה שמים במקום השנייה את השורה השנייה שמים במקום החמישית את השורה החמישית שמים במקום הרביעית את השורה הרביעית שמים במקום הראשונה כלומר <math>A=\pmatrix{--R_1--\\ --R_2--\\ --R_3--\\ --R_4--\\ --R_5--} \rightarrow \pmatrix{--R_4--\\ --R_1--\\ --R_3--\\--R_5--\\--R_2--}=B</math> חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת,<math>B</math>, בעזרת <math>|A|</math>. פתרון: את המטריצה החדשה אפשר לקבל ע"י רצף החלפות שורה: <math>R_1\leftrightarrow R_2, R_1\leftrightarrow R_4,R_4\leftrightarrow R_5</math>. ולכן <math>|B|=(-1)(-1)(-1)|A|=-|A|</math>. '''הערה''' מכיוון ו<math>|A|=|A^t|</math> מותר בחישוב הדטרמיננטה לעשות גם פעולות ''עמודה'' אלמנטריות, השינוי בדטרמיננטה הוא דומה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)