לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 8
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל ממבחן תשס"ט מועד א' (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו)=== קבוצה נקראת "מגניבה" אם ההפרש בין כל שני איברים שונים בה אינו רציונאלי. 1. הוכח כי קיימת קבוצה מגניבה C כך שלכל <math>C\subset B</math> מתקיים כי B אינה מגניבה. 2. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי. ====הוכחה==== הוכחת 1. שקולה ללהוכיח כי קיימת קבוצה מגניבה C מקסימאלית ביחס להכלה. נוכיח: ===== לפי הלמה של צורן ===== נביט באוסף הקבוצות המגניבות וביחס ההכלה (האוסף לא ריק כי כל נקודון הוא קבוצה מגניבה). לכל שרשרת של קבוצות מגניבות מתקיים כי האיחוד הכללי שלהן הינו קבוצה מגניבה. אמנם, אם x,y באיחוד הכללי אזי קיימות קבוצות בשרשרת S,T כך ש <math>x\in S \and y\in T</math>. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי <math>S\subseteq T</math> ולכן <math>x,y\in T</math> ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו. אם כן, האיחוד הכללי הינו חסם מקסימלי של השרשרת (כי הוא מכיל את כל הקבוצות בשרשרת) מתוך אוסף הקבוצות המגניבות, ולכן לפי הלמה של צורן קיימת קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה. זה אומר שכל קבוצה מגניבה המכילה את C שווה לה. ===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף ===== נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות המגניבות, סדורה ע"י הכלה. מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> שרשרת ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>. נגדיר <math>C=\cup_{C'\in \mathcal{C}}</math> ט: C מגניבה ה: אם x,y ב C אזי קיימות קבוצות בשרשרת <math>S,T\in \mathcal{C}</math> כך ש <math>x\in S \and y\in T</math>. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי <math>S\subseteq T</math> ולכן <math>x,y\in T</math> ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו. ט: C מגניבה ''' מקסימאלית''' (ביחס להכלה) ה: נב"ש כי קיימת <math>\hat{C}</math> קבוצה מגניבה שמכילה ממש את C אזי <math>\mathcal{C}\cup \{\hat{C}\}</math> היא שרשרת שמכילה ממש את <math>\mathcal{C}</math> בסתירה למקסמאליות של <math>\mathcal{C}</math> 2. נב"ש שקיים איבר שאין לו הפרש רציונאלי עם אף איבר בC. אזי אם נוסיף אותו לC נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את C בסתירה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)