לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===פתרון פרטי ותנאי התחלה=== כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל <math>c</math> שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש <math>y(0)=1</math> נציב במשוואה הכללית שקיבלנו <math>x=0</math> ונקבל: <math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>. ====תרגיל==== פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>. ====תרגיל==== לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40? =====פתרון===== הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל: <math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>. כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>, ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math> עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: <math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה: <math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)