לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תת חבורות ציקליות=== *כתיב אקספוננט <math>g^n=g\cdots g</math> או כפל <math>ng=g+\cdots+g</math> בהתאם לסימון פעולת החבורה. *תהי G חבורה, לכל <math>a\in G,n\in \mathbb{N}</math> נגדיר: **<math>a^0=e_G</math>. **<math>a^{-n}=(a^{-1})^n</math> *הערה: קל להוכיח כי <math>(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}</math> *תהי חבורה G, לכל <math>a\in G</math> נגדיר את הסדר של האיבר <math>o(a)</math> בתור החזקה החיובית הקטנה ביותר k עבורה <math>a^k=e_G</math>. אם אין חזקה כזו, ניתן לומר שהסדר הוא אינסוף. *דוגמאות: **<math>o(e_G)=1</math>. **ב<math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים כי <math>o(2)=5</math>. **ב<math>\mathbb{Z}</math> הסדר של כל איבר שונה מאפס הוא אינסוף. *תהי חבורה G, ויהי <math>a\in G</math>. תת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי a הינה <math><a>=\{a^n|n\in\mathbb{Z}\}</math> *הוכחה שאכן מדובר בתת חבורה: **<math>e_G=a^0\in<a></math>. **יהיו <math>a^n,a^k\in<a></math> אזי <math>a^n\cdot (a^k)^{-1}=a^n\cdot (a^{-1})^k=a^{n-k}\in<a></math>. *תהי חבורה G, אזי סדר כל איבר הוא גודל החבורה הציקלית שהוא יוצר, כלומר <math>|<a>|=o(a)</math>. *הוכחה: **ראשית נוכיח עבור המקרה בו סדר האיבר סופי <math>o(a)=n</math>. ***רוצים להוכיח כי <math><a>=\{e_G,a,a^2,...,a^{n-1}\}</math> וכי כל האיברים בקבוצה זו שונים זה מזה (אחרת כמות האיברים קטנה יותר מn). ***ברור שהחזקות של a שייכות לתת החבורה הציקלית. ***יהי k כלשהו, נסמן בr את השארית <math>r=k \mod n</math> כלומר <math>k=pn+r</math> עבור <math>p\in\mathbb{Z}, 0\leq r\leq n-1</math>. ***<math>a^k=(a^n)^pa^r=e_G^pa^r=a^r</math>. ***כעת נניח כי קיימות שתי חזקות שונות <math>0\leq r_1<r_2\leq n-1</math> כך ש <math>a^{r_1}=a^{r_2}</math>. ***לכן <math>a^{r_2-r_1}=e_G</math>. ***אבל <math>r_2-r_1\leq n-1 < n</math> בסתירה לכך ש<math>o(a)=n</math>. **כעת נניח כי סדר האיבר הוא אינסוף, ונוכיח כי גודל תת החבורה הציקלית שהוא יוצר הוא אינסוף. ***נניח בשלילה ש <math><a></math> סופית, לכן לפחות שתי חזקות שונות של a נותנות אותו איבר. ***נסמן <math>n<k</math> כך ש <math>a^n=a^k</math>. ***לכן <math>a^{k-n}=e_G</math> בסתירה לכך שסדר האיבר הוא אינסוף. *מסקנה: תהי חבורה '''סופית''' G, אזי לכל איבר בחבורה יש סדר סופי. **הוכחה: גודל תת החבורה הציקלית חייב להיות סופי. *תת חבורות ציקליות: **<math>2\mathbb{Z}</math>. **<math>\{z\in\mathbb{C}:z^n=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> שורשי היחידה מסדר n.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)