לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===דוגמאות=== # <math>f'(x)=\sin(x)</math> היא מד"ר, שפתרונה הוא <math>f(x)=-\cos(x)+c</math> עבור קבוע c כלשהו. # גם <math>f(x)=f'(x)</math> היא מד"ר, ופתרונה <math>f(x)=ae^x</math> עבור קבוע a. # <math>f''(x)=-f(x)</math>. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math> עבור a,b קבועים. # {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. {{המשך סיכום|תאריך=31.5.11}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}</math>}}נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-<math>a_0</math>, היחס בין שני איברים עוקבים הוא <math>\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}</math>, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) <math>\infty</math>. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-<math>a_1</math> הוא <math>\infty</math> ולכן <math>f(x)</math> הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-<math>|x-0|<\infty</math>, כלומר <math>x\in\mathbb R</math>. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-<math>\mathbb R</math>. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי <math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נזכר ש-<math>\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math> ולכן <math>3=f^{(0)}(0)=0!a_0</math>, כלומר <math>a_0=3</math> וגם <math>-2=f^{(1)}(0)=1!a_1</math>, כלומר <math>a_1=-2</math>. מציבים ערכים אלו של <math>a_1,a_0</math> בפתרון הכללי שמצאנו ל-<math>f(x)</math> וסיימנו את התרגיל. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)