לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== גרעין, תמונה ודרגה== תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. #הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>\ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\leq V</math> #התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\leq W</math> #הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImT)</math> === דוגמאות === 1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>ונסתכל על העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math>. אזי # <math>kerT=N(A)</math> # <math>ImT=C(A)</math> # <math>rankT=rankA</math> 2. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס והעל הלינארית <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math>. אזי # <math>kerT=\{0\}</math> # <math>ImT=\mathbb{F}^n</math> === תרגיל === תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח # <math>KerT \subseteq KerT^2</math> # <math>ImT^2 \subseteq ImT</math> פתרון: # יהא <math>v\in KerT</math> אזי <math>Tv=0</math> ולכן <math>T^2v=T(Tv))=T0=0</math>. כלומר <math>v\in KerT^2</math> # יהא <math>v\in ImT^2</math> אזי <math>\exists w: T^2w=v</math> ולכן <math>T(Tw)=T^2w=v</math>. כלומר <math>v\in ImT</math> === משפט === תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math> ==== תרגיל: ==== תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי # אם <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל אז <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל # אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> =====הוכחה===== # נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. כיוון שנתון ש <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש. # נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0</math> כיוון ש <math>T</math> חח"ע נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. כיוון ש <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש. ==== תרגיל ==== <math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע? פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2. ==== תרגיל ==== <math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על? פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3. === תרגיל === תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math> הוכחה: (<math>\subseteq</math>) יהא <math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> צ"ל באיברי <math>A</math> אזי <math>Tv\in T(span(A))</math> הוא איבר כללי. כעת <math>Tv=\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i </math> שזה צ"ל באיברי <math>T(A)</math> ולכן שייך ל <math>spanT(A)</math> (<math>\supseteq</math>) יהא צ"ל באיברי <math>T(A)</math> אזי הוא מהצורה <math>\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i</math> כאשר <math>v_i\in A</math> מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math> '''מסקנה:''' לכל תת מרחב <math>W\leq V</math> מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב. === תרגיל === יהיו <math>V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2}</math> והמישור <math>U=\{ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right): x+y+z=0\} = span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right)\} \leq V</math> מצא ה"ל <math>T:V\to W</math> כך ש <math>kerT=U</math> וגם <math>ImT=span(\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\})</math> ====פתרון ==== נשלים לבסיס ל V בעזרת <math> \{ v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \}</math> לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר <math>T</math> בעזרת הבסיס. נגדיר <math>Tv_1=Tv_2 = 0, Tv_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}</math> ואז <math>T(U)=T(span\{v_1,v_2\})= span\{Tv_1,Tv_2\} = span\{0\} = \{0\} </math> ולכן <math>U\subseteq kerT</math> בכיוון השני, יהיה <math>v=\alpha_1v_1 +\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \in KerT</math> אזי <math>0=Tv= \alpha_1Tv_1 +\alpha_2Tv_2+\alpha_3Tv_3=\alpha_3 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} </math> ולכן <math>\alpha_3=0</math> ואז <math>v\in U</math> בנוסף, באופן דומה, <math>ImT=T(V)=T(span\{v_1,v_2,v_3\}) = span\{Tv_1,Tv_2,Tv_3\} = span \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} </math> כנדרש. === תרגיל === תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math> הוכחה: נסתכל על ה"ל <math>T_W:W\to V</math> אזי מתקיים כי <math>KerT_W = W\cap kerT=0</math> ולכן <math>T_W</math> חח"ע. אם נבחר בסיס <math>B</math> ל -<math>W</math>, אזי <math>T(B)</math> גם כן בסיס ואז <math>\dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W)</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)