לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)=== יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>. בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח). '''פתרון.''' 1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math> בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. 2. ''' f חח"ע אמ"מ g על ''' בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> ) בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> כיוון ש g על קיימת <math>B\in P(Y)</math> כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math> לכן <math> \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B </math> ולכן <math>\{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\}</math> לכן <math>\{y,x\}\subseteq \{x\}</math> כלומר <math>x=y</math>. סתירה. מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות: * '''ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו''' (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1) * '''יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו'''. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2) * '''ייתכן ו-f על אך g אינה כזו ''' (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2) * '''ייתכן ו-g על אך f אינה כזו ''' (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1) אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל למשל: יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. ==== תרגיל (בהרצאה בד"כ) ==== תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי: # אם קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על. # אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אמ"מ <math>|A|\leq |B|</math> # אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> על אמ"מ <math>|B|\leq |A|</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)