הצגת המקור של הדף "אורך עקומה"

[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|שמאל|300px]]

תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math> . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math> , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}</math>

כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> . כיון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

[[קטגוריה:אינפי]]