הצגת המקור של הדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"

[[88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות]]

=מבחנים לדוגמא=
*[[מדיה:18EngODEExmpTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1]], [[מדיה:18EngODEExmpTest1Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngODEExmpTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2]], [[מדיה:18EngODEExmpTest2Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]]
*[[מדיה:19ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:19ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:21ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"א]]
*[[מדיה:21ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"א]]
*[[מדיה:22ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ב]]
*[[מדיה:22ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ב]]
*[[מדיה:23ODEQuiz.pdf|בוחן תשפ"ג]], [[מדיה:23ODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן תשפ"ג]]
*[[מדיה:23ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ג]]
*[[מדיה:23ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ג]]
*[[מדיה:23EngODEQuiz.pdf|בוחן הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן הנדסה תשפ"ג]]
*[[מדיה:23EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestBSol.pdf|פתרון]]


===מבחנים של מד"ר למדעי המוח===
*[[מדיה:23BSODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestAPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד א' תשפ"ג]]
*[[מדיה:23BSODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestBPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד ב' תשפ"ג]]


===עוד קצת מבחנים - מד"ר ואנליזה מתקדמת למורים===
[[הרחבת הסמכה למורים למתמטיקה - באר שבע/מחזור ה/סמסטר ב תשפ"א|שאלות 3,4,5 מהמבחנים הבאים]] (ברמה קצת יותר קלה)

=הרצאות=

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hlMJrtihLjrl0d55Zk4Ggy6 פלייליסט של ההרצאות למחלקת מתמטיקה שנת תשפ"א]


==הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה==

*משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
*בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה <math>f'(x)=0</math>. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
*לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
*כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.


*המלצה: ניתן להעזר בספר המצויין על מד"ר של סמי זעפרני ב[https://samyzaf.com/technion/ode/ode.pdf קישור הבא].

*אפשר להציץ ב[https://en.wikisource.org/wiki/The_Mathematical_Principles_of_Natural_Philosophy_(1846) ספר הבא] שכתב סר אייזיק ניוטון על מנת לקבל רקע פיזיקלי מתאים.

===נפילה חופשית===
*גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה <math>g=9.82</math>.
*נסמן ב<math>y(t)</math> את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
*<math>v(t)=y'(t)</math> היא המהירות
*<math>a(t)=v'(t)=y''(t)</math> היא התאוצה.
*לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה <math>a(t)=g</math>, הרי התאוצה קבועה.


*<math>y''(t)=g</math>
*לכן <math>y'(t)=gt+c_1</math>
*לכן <math>y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2</math>


*כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
*נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן <math>y(0)=0</math> ולכן <math>c_2=0</math>
*נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן <math>y'(0)=0</math> ולכן גם <math>c_2=0</math>.


===ריבית דריבית===
*נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה <math>y(t)</math>.
*נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי <math>y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)</math>.
*אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
**בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית <math>y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)</math>
**ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל <math>y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})</math>
**סה"כ <math>y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)</math>
*זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
*האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
*כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
**<math>y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)</math>
**נעביר אגף ונחלק <math>\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)</math>
*אם נשאיף <math>t_2\to t_1</math> נקבל כי <math>y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)</math>
*כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית <math>y'=r\cdot y</math> כאשר <math>r</math> היא הריבית השנתית.


===המשוואה <math>y'=r\cdot y</math>===
*בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
*מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
*כעת נשים לב כי:
*<math>y'-ry=0</math>
*<math>e^{-rt}(y'-ry)=0</math>
*<math>(e^{-rt}y)'=0</math>
*כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה <math>e^{-rt}y=C</math>
*סה"כ <math>y=Ce^{rt}</math>


*על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
*שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון '''יחיד'''.


===סדר המד"ר===

*משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
**המשוואה <math>y''=g</math> היא משוואה מסדר שני.
**המשוואה <math>y'=ry</math> היא משוואה מסדר ראשון.

===משוואות פרידות===

*משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה <math>y'=f(y)g(x)</math>.
*נהוג גם להחליף <math>y'=\frac{dy}{dx}</math> ולכן המשוואה תרשם כך <math>dy=f(y)g(x)dx</math>.
*לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה <math>f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0</math>, כלומר <math>y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}</math>.


*משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
*ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
*<math>f(y)y'=g(x)</math>
*הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
*<math>\int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt=F(y)</math>
*לכן ביחד נקבל <math>F(y)=G(x)+c</math>
*בעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים <math>f(y)dy=g(x)dx</math>, כל אחד לפי המשתנה שלו!


*לדוגמא נפתור את המשוואה <math>y'=r\cdot y</math> כמשוואה פרידה.
*ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי <math>\frac{1}{y}dy=rdx</math>.
*נשים לב כי הנחנו כאן כי <math>y\neq 0</math>.
*כעת <math>\int \frac{1}{y}dy=ln|y|</math>.
*<math>\int rdx=rx</math>.
*וביחד <math>ln|y|=rx+C</math>.
*לכן <math>|y|=e^{rx+C}=e^C\cdot e^{rx}</math>.
*לכן <math>y=\pm e^C\cdot e^{rx}</math>.
*כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
*בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) <math>y=Ce^{rx}</math>.


*שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
*בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
*בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.

====המרדף====
*דוגמא יפה וחשובה מ[http://people.uncw.edu/hermanr/mat361/ODEBook/ODE1.pdf הספר הזה] עמוד 19 של הספר (33 של הPDF)
*מרצה צועד במהירות קבועה <math>b</math> בקו ישר בשדרה שמוביל אל בניין 507.
*סטודנט שרוצה עוד שתי נקודות לעובר רואה את המרצה, ונע לכיוון המרצה במהירות קבועה <math>c</math>.
*המרצה מתחיל בנקודה <math>(0,0)</math> ונע בכיוון החיובי של ציר y, הסטודנט מתחיל בנקודה <math>(a,0)</math> עבור <math>a>0</math>.
*באיזה מסלול ינוע הסטודנט? באילו תנאים הוא יתפוס את המרצה?


*נסמן את פונקצית המסלול של הסטודנט ב<math>y(x)</math>
*כיוון שהסטודנט תמיד נע בכיוון המרצה, המשיק של הפונקציה בכל נקודה במסלול הסטודנט צריך לפגוש את המרצה באותו הזמן.
*בזמן <math>t</math> המרצה נמצא בנקודה <math>(0,b\cdot t)</math> והסטודנט נמצא בנקודה <math>(x,y)</math>.
*השיפוע בין המרצה לסטודנט הוא הנגזרת של פונקצית המסלול, כלומר <math>y'=\frac{y-bt}{x}</math>


*כעת יש לנו שלושה משתנים <math>t,x,y</math>, כיצד נפטר מאחד מהם? לא השתמשנו במהירות הסטודנט!
*המסלול שהסטודנט עבר צריך להיות שווה ל<math>c\cdot t</math>, כלומר <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=ct</math>
*מהמשוואה לעיל אנו יודעים כי <math>t=\frac{y-xy'}{b}</math>
*ביחד נקבל כי <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=c\cdot \frac{y-xy'}{b}</math>
*נגזור את שני הצדדים ונקבל כי:
*<math>-\sqrt{y'^2+1}=\frac{c}{b}\cdot (-xy'')</math>
*<math>\frac{c}{b}xy''=\sqrt{y'^2+1}</math>
*נסמן <math>y'=z</math> ונקבל <math>\frac{c}{b}xz'=\sqrt{z^2+1}</math>


*זו מד"ר פרידה
*<math>\frac{c}{b\sqrt{z^2+1}}dz=\frac{1}{x}dx</math>
*באמצעות [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|ההצבה האוניברסאלית המתאימה]] <math>z=tan(t)</math> נפתור את האינטגרל של הצד השמאלי ונקבל כי
*<math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)+D</math>
*ברגע הראשון התקיים כי <math>x=a</math> והתלמיד כיוון לראשית הצירים כלומר <math>y'(a)=0</math> כלומר <math>z(a)=0</math>
*לכן <math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)-ln(a)</math>
*<math>ln(\sqrt{z^2+1}+z)=\frac{b}{c}ln(\frac{x}{a})</math>
*<math>\sqrt{z^2+1}+z=\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}</math>


*כעת קצת אלגברה:
*<math>z+\sqrt{z^2+1}=A</math>
*<math>\frac{-1}{z-\sqrt{z^2+1}}=A</math>
*<math>z-\sqrt{z^2+1}=-\frac{1}{A}</math>
*נחבר למשוואה הראשונה
*<math>z=\frac{1}{2}\left(A-\frac{1}{A}\right)</math>


*הרי <math>z=y'</math>, ולכן ביחד:
*<math>y'=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}-\left(\frac{x}{a}\right)^{-\frac{b}{c}}\right)</math>
*ולכן אחרי אינטגרציה נקבל כי:
*<math>y=\frac{a}{2}\left(\frac{1}{\frac{b}{c}+1}\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}+1} - 
\frac{1}{1-\frac{b}{c}}\left(\frac{x}{a}\right)^{1-\frac{b}{c}}\right) + K</math>
*כאשר אנחנו מקבלים את הקבוע <math>K</math> מהנתון <math>y(a)=0</math>

*באופן טבעי, אם מהירות המרצה גדולה ממהירות הסטודנט <math>b>c</math> נקבל שאיפה לאינסוף כאשר <math>x\to 0</math> והסטודנט לא יגיע למרצה.
*אם <math>b<c</math> הסטודנט יגיע לשדירה ויתפוס את המרצה.
*אם <math>b=c</math> האינטגרציה שלנו שגוייה, וכאשר נחשב אותה נכון שוב נקבל שאיפה לאינסוף (באופן טבעי)

===הפיכת משוואה לפרידה===
*נביט במשוואה <math>y'=(x+y)^2</math> שאינה משוואה פרידה.
*נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
*נגדיר את הפונקציה <math>z=x+y</math>.
*מתקיים כי <math>z'=1+y'</math> וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה <math>z'-1=z^2</math>.
*זוהי משוואה פרידה <math>\frac{1}{1+z^2}dz=dx</math>.
*נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי <math>\arctan(z)=x+C</math>
*ולכן <math>z=\tan(x+C)</math>
*ולכן <math>x+y=\tan(x+C)</math>
*<math>y=\tan(x+C)-x</math>


*שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו <math>x+C</math> מחוץ לתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>.
*שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
*על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
*אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.

==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי==
===מד"ר הומוגנית===

*מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>.
*נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה <math>z=\frac{y}{x}</math> באופן הבא:
**ראשית נסמן <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>.
**כעת נגזור את שני צידי המשוואה <math>zx=y</math>, ונקבל כי <math>z'x+z=y'</math>.
**לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה '''פרידה''' <math>z'x+z=g(z)</math>.
**נפריד את המשתנים <math>\frac{1}{g(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx</math>.
**ולכן <math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\ln|x|+C</math>.
**נמצא את <math>z</math> ונציב בחזרה <math>y=zx</math>.


*פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל <math>\lambda\neq 0</math> מתקיים כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>.
*לדוגמא <math>f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 1.


*טענה: פונקציה <math>f(x,y)</math> היא מהצורה <math>g(\frac{y}{x})</math> לכל <math>x\neq 0</math> אם"ם היא הומוגנית מסדר <math>0</math> לכל <math>x\neq 0</math>.
*הוכחה:
**אם <math>f(x,y)=g(\frac{y}{x})</math> אזי לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=g(\frac{\lambda y}{\lambda x})=g(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y)</math>.
**אם <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>, נציב <math>\lambda=\frac{1}{x}</math> ונקבל כי <math>f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=g(\frac{y}{x})</math>.





*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'=\frac{x^2+y^2}{xy}</math>
**<math>g(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}</math>
**<math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2} </math>
**<math>\frac{z^2}{2}=ln|x|+C</math>
**<math>z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}</math>
**ולבסוף <math>y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C}</math>


*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>xdy-\left(x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0</math>
**<math>y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}</math>
**<math>g(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}</math>
**<math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)</math>
**<math>\tan(z)=\ln|x|+c</math>
**<math>z=\arctan(ln|x|+C)</math>
**<math>y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)</math>

===מד"ר לינארית מסדר ראשון===
*הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math>.
*מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=0</math>.
*נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.


*נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+a(x)\cdot y=0</math> היא '''פרידה'''.
*נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=-a(x)dx</math>.
*נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=-A(x) +C</math>.
*ולכן <math>y=C\cdot e^{-A(x)}</math>


*כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
*נציב במקום המקדם הקבוע <math>C</math> פונקציה <math>C(x)</math>, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
*כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה <math>C(x)</math> כך שהמשוואה תתקיים.


*כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{-A(x)}</math> במשוואה <math>y'+a(x)y=b(x)</math>.
*נקבל <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}-a(x)\cdot C(x)\cdot e^{-A(x)} + a(x)\cdot C(x) \cdot e^{-A(x)}=b(x)</math>
*משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}=b(x)</math>.
*כלומר <math>C'(x)=b(x)\cdot e^{A(x)}</math>.
*לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[b(x)\cdot e^{A(x)}\right]dx+C</math>


*סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math> הוא:
<math>e^{-A(x)}\cdot\left(C+\int\left(b(x)\cdot e^{A(x)}\right)dx\right)</math>


*דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>:
**ראשית, נשים לב כי <math>a(x)=-r</math> ו<math>b(x)=0</math>.
**כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא <math>y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}</math>


====נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר====
*גוף בעל מסה <math>m</math> נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע <math>m\cdot g</math> ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
*במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע <math>b\cdot v^2</math>, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה <math>bv</math>.


=====במהירות גבוהה=====
*לפי החוק השני של ניוטון <math>m\cdot a = gm -b\cdot v^2</math>.
*כלומר <math>v'=g-\frac{b}{m}v^2</math>
*נבצע הפרדת משתנים <math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=dt</math>
*נבצע פירוק לשברים חלקיים:
*<math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}=\frac{1}{(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right)</math>
*ולכן <math>\int \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=\frac{\sqrt{m}}{2\sqrt{g\cdot b}}\ln\left|\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right|</math>
*מצד שני <math>\int dt=t+c</math>
*לכן <math>\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}=Ce^{\left(2\sqrt{\frac{g\cdot b}{m}}t\right)}</math>
*נסדר קצת <math>v=\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{1+Ce^{\left(2\sqrt{\frac{g\cdot b}{m}}t\right)}}\right)</math>
*נשים לב שכאשר <math>t\to\infty</math> אנו מתכנסים ל[https://en.wikipedia.org/wiki/Terminal_velocity מהירות הסופית] <math>\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}</math>. 
*אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.

=====במהירות נמוכה=====
*לפי החוק השני של ניוטון <math>m\cdot a = gm -b\cdot v</math>.
*כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית <math>v'+\frac{b}{m}v=g</math>.
*ולכן הפתרון הוא <math>v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\int ge^{\frac{b}{m}t}dt+C\right)=\frac{g\cdot m}{b}+Ce^{-\frac{b}{m}t}</math>.
*וכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות שואפת למהירות הסופית <math>\frac{g\cdot m}{b}</math>.

===משוואת ברנולי===

*משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה <math>y'+p(x)\cdot y = q(x)\cdot y^n</math> עבור <math>n\neq 0,1</math>.
*נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
*נניח כי <math>y\neq 0</math>, ונחלק ב<math>y^n</math>.
*נקבל את המשוואה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)\cdot y^{1-n}=q(x)</math>.
*נציב <math>z=y^{1-n}</math>.
*נגזור <math>z'=(1-n)\frac{y'}{y^n}</math>.
*נקבל משוואה לינארית <math>\frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z = q(x)</math>.
*נפתור עבור <math>z</math> ונציב חזרה לקבל <math>y=z^{\frac{1}{1-n}}</math>.


*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'-2xy=2x^3y^2</math>.
**נציב <math>z=\frac{1}{y}</math>.
**נקבל <math>-z'-2xz=2x^3</math> ולכן <math>z'+2xz=-2x^3</math>.
**לכן <math>z=e^{-x^2}\cdot\left(\int \left(-2x^3e^{x^2}\right)dx+C\right)</math>
**לכן <math>z=e^{-x^2}\cdot\left(e^{x^2}(1-x^2)+C\right)</math>
**לכן <math>z=1-x^2+Ce^{-x^2}</math>
**ולבסוף <math>y=\frac{1}{1-x^2+Ce^{-x^2}}</math>


*דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
**נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
**<math>F=-bv-dv^2</math> ולכן <math>v'=-bv-dv^2</math> (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
**זוהי משוואת ברנולי, נציב <math>z=\frac{1}{v}</math>.
**לכן <math>z'-bz=d</math>
**נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
***<math>z=e^{bt}\cdot (\frac{d}{-b}e^{-bt}+C)=Ce^{bt}-\frac{d}{b}</math>
**ולכן <math>v=\frac{1}{Ce^{bt}-\frac{d}{b}}</math>
**כמובן שכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.


*דוגמא - [https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function#Applications המשוואה הלוגיסטית]
**קצב הגדילה של אוכלוסיה פרופורציונלית לגודל האוכלוסיה כפול כמות המשאבים הפנויים.
**המשאבים קטנים באופן פרופורציונלי לגודל האוכלוסיה.
**<math>y'= y\cdot (a-by)</math>

==הרצאה 3 משוואות מדוייקות==

===הקדמה - פונקציות בשני משתנים===

*נגזרות חלקיות
**דוגמא עבור <math>f(x,y)=x^2+xy</math> מתקיים <math>f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y</math> ו<math>f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=x</math>
*עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי <math>f_{xy}=f_{yx}</math> (כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
*כלל השרשרת: אם <math>g(t)=f(x(t),y(t))</math> אזי <math>g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t)</math>
*בפרט, עבור <math>g(x)=f(x,y(x))</math> מתקיים <math>g'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'</math>


===מד"ר מדוייקת===

*מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה <math>U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0</math>, עבור <math>U(x,y)</math> דיפרנציאבילית.
*פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה <math>U(x,y)=C</math>, כאשר C קבוע כלשהו.
*תהי מד"ר מהצורה <math>Pdx+Qdy=0</math> כאשר <math>P,Q</math> בעלות נגזרות רציפות. אזי המד"ר מדוייקת אם"ם <math>P_y=Q_x</math>

*הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
**נגזור את הפונקציה <math>g(x)=U(x,y(x))</math> לפי המשתנה <math>x</math> באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי <math>g'(x)=U_x(x,y)+U_y(x,y)y'</math>
**לפי הנתון <math>U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0</math> נובע כי <math>g'(x)=0</math> ולכן <math>g(x)=U(x,y)=C</math> פונקציה קבועה.


*הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
**כיוון ראשון, נניח <math>Pdx+Qdy=0</math> מדוייקת.
***לכן קיימת <math>U(x,y)</math> דיפרנציאבילית כך ש <math>P=U_x,Q=U_y</math>.
***לכן <math>P_y=U_{xy}=U_{yx}=Q_x</math>.
**כיוון שני, נניח כי <math>P_y=Q_x</math>.
***אנו מחפשים <math>U(x,y)</math> עבורה <math>P=U_x</math>.
***נעשה אינטגרציה לפי <math>x</math> ונקבל כי <math>U(x,y)=\int P(x,y)dx + c(y)</math>.
***לכן ברור כי <math>U_x=P</math>, השאלה היא אם ניתן לבחור <math>c(y)</math> עבורו <math>U_y=Q</math>.
***כלומר אנו רוצים <math>c'(y)=Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx</math>
***משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
***אכן <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx\right)=Q_x-P_y=0</math>.


*דוגמא: מצאו משוואה המתארת את הפתרון למד"ר הבאה באופן סתום <math>(2x+6y)dx+(6x+3y^2)dy=0</math>.
**ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: <math>P_y=Q_x=6</math>.
**נבצע אינטגרציה <math>U=\int Pdx +c(y)= x^2+6xy +c(y)</math>.
**נגזור לפי y ונקבל כי <math>Q=U_y=6x+c'(y)</math>.
**לכן <math>c'(y)=Q-6x=3y^2</math>.
**לכן <math>c(y)=y^3</math> וסה"כ <math>U(x,y)=x^2+6xy+y^3</math>.
**לכן הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י <math>x^2+6xy+y^3=C</math>.


====גורם אינטגרציה====

*לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה '''גורם אינטגרציה''') וכך נהפוך אותה למדוייקת.
*באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.


*תהי מד"ר <math>Pdx+Qdy=0</math>, ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה <math>\mu(x)</math> התלוי בx בלבד.
*כלומר <math>\mu\cdot Pdx+\mu\cdot Qdy=0</math> מדוייקת.
*לכן <math>(\mu\cdot P)_y=(\mu\cdot Q)_x</math>.
*כלומר <math>\mu\cdot P_y=\mu'\cdot Q+\mu\cdot Q_x</math>.
*לכן <math>\frac{\mu'}{\mu}=\frac{P_y-Q_x}{Q}</math>.
*ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
*במקרה זה, פתרון יהיה <math>\mu(x)=e^{\int\left(\frac{P_y-Q_x}{Q}\right)dx}</math>



*דוגמא - המשוואה <math>y'=ry</math>.
**המשוואה הינה <math>-rydx+dy=0</math>.
**<math>P_y=-r\neq 0=Q_x</math>
**מתקיים כי <math>\frac{P_y-Q_x}{Q}=-r</math> תלוי בx בלבד.
**לכן יש גורם אינטגרציה <math>\mu(x,y)=e^{-rx}</math>
**נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
**<math>-re^{-rx}ydx+e^{-rx}dy=0</math>.
**כעת <math>P_y=-re^{-rx}=Q_x</math>.
**<math>U(x,y)=\int Pdx +c(y) = e^{-rx}y+c(y)</math>
**<math>Q=U_y=e^{-rx}+c'(y)</math>.
**לכן <math>c'(y)=0</math> ואפשר לבחור <math>c(y)=0</math>.
**סה"כ <math>U(x,y)=e^{-rx}y=C</math>.
**(כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)


*דוגמא - המשוואה <math>(1-x^2y)dx+x^2(y-x)dy=0</math>.
**<math>\frac{P_y-Q_x}{Q}=\frac{-x^2-(2xy-3x^2)}{x^2(y-x)}=\frac{2x(x-y)}{x^2(y-x)}=-\frac{2}{x}</math>
**<math>\mu(x)=e^{-2ln(x)}=\frac{1}{x^2}</math>.
**אכן המשוואה <math>(\frac{1}{x^2}-y)dx+(y-x)dy=0</math> מדוייקת.
***נבדוק: <math>P_y=-1=Q_x</math>.
**נפתור את המד"ר: 
***<math>U(x,y)=\int Pdx+c(y)=-\frac{1}{x}-yx+c(y)</math>.
***<math>Q=U_y=-x+c'(y)</math>.
***<math>c'(y)=y-x+x=y</math>.
***<math>c(y)=\frac{y^2}{2}</math>.
***סה"כ הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י <math>U(x,y)=-\frac{1}{x}-yx+\frac{y^2}{2}=C</math>.
***אפשר באמצעות השלמה לריבוע לבודד את y.



==הרצאה 4 משפט הקיום והיחידות==

===בעיית קושי===
*מציאת פתרון למד"ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיימת <math>y(x_0)=y_0</math>

===המשוואה האינטגרלית===
*בעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math> עם <math>y(x_0)=y_0</math> שקולה למשוואה <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
**בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
***אזי <math>\int_{x_0}^x y'(t)dt=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
***לכן <math>y(x)-y(x_0)=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
***ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי <math>y(x)-y_0=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
**בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה.
***נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה).
***נציב במשוואה האינטגרלית את <math>x_0</math> ונקבל <math>y(x_0)=y_0+\int_{x_0}^{x_0}f(t,y(t))dt=y_0</math>.



===שיטת פיקרד===
*נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את קיום הפתרון במשפט הקיום והיחידות.
*נבנה נוסחת נסיגה מהמשוואה האינטגרלית, ואז אם הסדרה תתכנס (במ"ש) נקבל את המשוואה האינטגרלית:
*נגדיר <math>\varphi_0=y_0</math>, ולכל <math>n</math> נגדיר <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>.
*מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.


*דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית) <math>y'=-ry</math>.
**<math>\varphi_0=y_0</math>
**<math>\varphi_1=y_0+\int_{x_0}^x(-ry_0)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))</math>
**<math>\varphi_2=y_0+\int_{x_0}^x\left(-r)\cdot(y_0-r\cdot y_0(t-x_0)\right)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2}</math>
**<math>\varphi_3=y_0+\int_{x_0}^x\varphi_2dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2}+y_0\frac{(-r(x-x_0))^3}{3!}</math>
**נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל<math>\varphi_n(x)\to y(x)=y_0e^{-r(x-x_0)}</math>
**אם נתון תנאי ההתחלה <math>y(0)=C</math> נקבל בדיוק את הפתרון <math>y=Ce^{-rx}</math>.

===ניסוח משפט הקיום והיחידות===
*תהי <math>f(x,y)</math> רציפה ובעלת נגזרת <math>f_y</math> רציפה במלבן הסגור <math>|x-x_0|\leq a, |y-y_0|\leq b</math>.
*נביט בבעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math>, עם תנאי ההתחלה <math>y(x_0)=y_0</math>
*נבחר <math>M</math> חסם כך ש <math>|f(x,y)|<M</math> במלבן הנתון, ונסמן <math>a'=\min\{a,\frac{b}{M}\}</math>.
*אזי '''קיים''' פתרון '''יחיד''' <math>y(x)</math> לבעיית הקושי בתחום <math>|x-x_0|\leq a'</math>.


*הערות:
*שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם. 
**אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים (<math>y'=(x+y)^2</math>).
**לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
*שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
*מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.


===הוכחת הקיום===
*נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון לבעיית הקושי.
*הערה: נוכיח עבור <math>x\geq x_0</math> ההוכחות עבור <math>x<x_0</math> דומות.


*ראשית, נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן <math>|x-x_0|\leq a',|y-y_0|\leq b</math> שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של <math>f</math>.
*כלומר, עלינו להוכיח כי לכל <math>x</math> המקיים <math>|x-x_0|\leq a'</math> מתקיים כי <math>|\varphi_n(x)-y_0|\leq b</math>.
**הפונקציה הראשונה <math>\varphi_0=y_0</math> כמובן בתוך המלבן.
**כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>.
***שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום <math>[x_0,x]</math> שנמצא בתחום התחום <math>[x_0,x_0+a']</math>.
**לכן <math>|\varphi_{n+1}(x)-y_0|\leq \int_{x_0}^x|f(t,\varphi_n(t)|dt\leq M(x-x_0)\leq Ma'\leq b</math>.



*כעת, נשים לב לתכונה הבאה: 
**כיוון ש<math>f_y</math> רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
**לפי משפט לגראנז' נקבל כי <math>|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|</math>



*כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
**ראשית, נשים לב כי <math>\varphi_n-y_0=\varphi_n-\varphi_0=\varphi_n-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}+...+\varphi_1-\varphi_0</math>.
**לכן עלינו להוכיח כי הטור <math>\sum_{i=1}^\infty\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)</math> מתכנס במ"ש (כי הסס"ח שלו היא <math>\varphi_n</math> פחות קבוע).
**ראשית, <math>|\varphi_1-\varphi_0|=|y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)dt-y_0|\leq M(x-x_0)</math>
**כעת <math>|\varphi_2-\varphi_1|\leq\int_{x_0}^x|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_0)|dt\leq \int_{x_0}^xK|\varphi_1-\varphi_0|dt\leq KM\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>
**<math>|\varphi_3-\varphi_2|\leq \int_{x_0}^{x}K|\varphi_2-\varphi_1|dt=K^2M\frac{(x-x_0)^3}{3!}</math>
**נמשיך כך ונקבל כי <math>
\left|\sum_{i=1}^n\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)\right|\leq 
\sum_{i=1}^n\left|\varphi_i-\varphi_{i-1}\right|\leq 
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(x-x_0)^n}{n!}\leq
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(a')^n}{n!}
</math>
**זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, וכן לפי מבחן הM של קושי הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
**הערה: כיוון ש<math>\left|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi_{n-1}(x))\right|\leq K|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|</math> אזי גם הסדרה <math>f(x,\varphi_n(x))</math> מתכנסת במ"ש באופן דומה.



*נוכיח שפונקצית הגבול <math>\varphi_n\to y</math> היא פתרון של בעיית הקושי.
**נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף <math>\varphi_n=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,\varphi_{n-1}(t))dt</math>.
**נקבל כי <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
**הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.

===הוכחת היחידות===

*טענת עזר - תהי <math>g</math> חסומה כך שלכל <math>x\geq x_0</math> בקטע <math>|x-x_0|\leq a</math> מתקיים כי <math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g(t)|dt</math> אזי <math>g=0</math> לכל <math>x\geq x_0</math> בקטע.
**<math>|g|\leq M</math>.
**<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq KM(x-x_0)</math>.
**<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq K\int_{x_0}^x KM(t-x_0)dt=K^2M\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>.
**נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי <math>|g|\leq K^nM\frac{(x-x_0)^n}{n!}</math>.
**לכן <math>|g|\leq K^n M\frac{a^n}{n!}\to 0</math>.
**לכן <math>g=0</math>.



*יהיו שני פתרונות <math>y_1,y_2</math> לבעיית הקושי, נוכיח כי <math>y_1=y_2</math>:
**<math>|y_2-y_1|=\left|\int_{x_0}^x(f(t,y_2)-f(t,y_1))dt\right|\leq \int_{x_0}^x|f(t,y_2)-f(t,y_1)|dt\leq K\int_{x_0}^x|y_2-y_1|dt</math>.
**לכן לפי טענת העזר, <math>y_1=y_2</math>.

==הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה==
*נחקור כעת משוואות מהצורה <math>f(x,y,y',...,y^{(n)})=0</math>

*דוגמא:
**נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך.
**נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX.
**הכוח הפועל על המסה הוא <math>-kX</math>.
**לכן לפי החוק השני של ניוטון <math>mX''=-kX</math>.


*דוגמא:
**נביט בסירה במים המחוברת בקפיץ למזח.
**מלבד הכוח שהקפיץ מפעיל, המים מתנגדים לסירה באופן פרופורציוני למהירות שלה.
**<math>mX''=-kX-dX'</math>
**היחס בין קבוע הקפיץ לקבוע התנגדות המים ישפיע על התנועה - האם הסירה תתקדם בכיוון אחד, או תעשה תנועה מחזורית (בכל מקרה היא תאט).


*דוגמא:
**מסה מחוברת לקפיץ עם חיכוך


*דוגמא: 
**מסה תלוייה על קפיץ במאונך עם או בלי התנגדות אוויר ועם השפעת כוח המשיכה (לא הומוגני)


===הורדת סדר המשוואה===
====מד"ר מסדר גבוה ללא y====
*אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה <math>u=y'</math>.


*דוגמא:
**משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני <math>mX''=C</math>. 
**נביט בפונקצית המהירות <math>V=X'</math> ונקבל את המשוואה <math>mV'=C</math> מסדר ראשון.

====הורדת סדר למד"ר מסדר שני ללא x====
*תהי מד"ר מהצורה <math>y''=f(y',y)</math>.
*ראשית נחפש פונקציה <math>p</math> המקיימת את המד"ר מסדר ראשון <math>p'(t)p(t)=f(p(t),t)</math> 
**נהוג לרשום את שם המשתנה כאן y ולא t, אך אני לא עושה את זה כעת על מנת למנוע בלבול מיותר.
*כעת נחפש פונקציה y המקיימת את המד"ר עבור p שמצאנו <math>y'=p(y)</math>
*פונקציה כזו תקיים כי <math>y''=p'(y)y'=p'(y)p(y)=f(p(y),y)=f(y',y)</math>
*כלומר היא מהווה פתרון למד"ר.


=====דוגמא - משוואות הקפיץ=====
**נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t).
**נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה <math>y''=-ky</math>.
**אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה <math>pp'=-ky</math>.
***זו משוואה פרידה <math>pdp=-kydy</math> ולכן <math>\frac{p^2}{2}=-\frac{ky^2}{2}+C</math>.
***לכן <math>p(y)=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>.
**לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה <math>y'=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>.
***<math>\int \frac{dy}{\sqrt{C-ky^2}}=\pm \int dt</math>.
***<math>\frac{1}{\sqrt{k}}\arcsin\left(\sqrt{\frac{k}{c}}y\right)=\pm t+D</math>.
***<math>\sqrt{\frac{c}{k}}\cdot sin\left(\pm\sqrt{k}t+D\right)</math>.
***שימו לב שהביטוי <math>\sqrt{\frac{c}{k}}</math> מייצג קבוע חיובי כלשהו.
***שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון.
**שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה.


=====דוגמא - מהירות מילוט=====
*גוף בעל מסה <math>m</math> נזרק מכדור הארץ כלפי מעלה במהירות <math>v_0</math>, נסמן את מרחק הגוף ממרכז כדור הארץ ב<math>r</math>. 
**מצאו את פונקצית מהירות הגוף ביחס לגובה שלו <math>v(r)</math>.
**מהי מהירות המילוט של הגוף? כלומר עבור איזו מהירות התחלתית מתקיים כי <math>r(t)\to \infty</math> כאשר <math>t\to \infty</math>?

*נסמן את מסת כדור הארץ ב<math>m_e</math>, את רדיוס כדור הארץ ב<math>R_e</math>, את קבוע הכבידה האוניברסאלי ב<math>G</math> ואת תאוצת הנפילה בכדור הארץ ב<math>g</math>
**ראשית נשים לב כי כוח המשיכה של כדור הארץ המופעל על מסה <math>m</math> הוא בקירוב <math>mg=\frac{Gm_e m}{R_e^2}</math> כלומר <math>g=\frac{Gm_e}{R_e^2}</math> ולכן <math>gR_e^2 = Gm_e</math>
**המשוואה המתארת את תנועת הגוף היא:
***<math>mr''=-\frac{Gm_e m}{r^2}</math> כלומר <math>r''=-\frac{Gm_e}{r^2}=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math>
**זו משוואה מסדר שני שחסר בה המשתנה <math>t</math>
**נחפש <math>p</math> עבורה <math>p(r)=r'</math> ולכן <math>pp'=r''</math>
***<math>pp'=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math>
***נעשה אינטגרציה למד"ר הפרידה שקיבלנו ונקבל
***<math>\frac{p^2}{2}=\frac{gR_e^2}{r}+C</math>
***לכן <math>p(r)=\pm\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math>


*כיוון שהמהירות ההתחלתית היא חיובית נקבל כי
**<math>r'=\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math>
*על מנת למצוא את הקבוע, נציב את תנאי ההתחלה:
**הגובה הראשוני הוא <math>r=R_e</math> ובו המהירות היא <math>v_0</math>
**<math>v_0=\sqrt{C+2gR_e}</math>
**<math>C=v_0^2-2gR_e</math>
*הערה: ניתן לפתור את המד"ר הזו על מנת למצוא את הגובה כפונקציה של הזמן, אך לא התבקשנו לעשות כן.


*סה"כ נקבל כי <math>v(r)=\sqrt{v_0^2-2gR_e+\frac{2gR_e^2}{r}}</math>

*מהירות המילוט היא המהירות ההתחלתית הנמוכה ביותר המבטיחה כי הגוף לא יגיע למהירות אפס.
*לכן מהירות המילוט מקיימת כי <math>v_0^2 = 2gR_e</math> ולכן <math>v_0 =\sqrt{2gR_e}</math>
**לכל מהירות נמוכה יותר הביטוי בתוך השורש מתחיל מ<math>v_0</math> ושואף למספר שלילי (בהנחת השלילה ש <math>r\to \infty</math>), ולכן יגיע לאפס. במהירות אפס החפץ לא ימשיך לנוע.
**לכל מהירות התחלתית גבוהה יותר, המהירות גדולה יותר מערך חיובי קבוע, ולכן <math>r\to\infty</math>.
**אם המהירות ההתחלתית היא בדיוק מהירות המילוט, ניתן לפתור את המד"ר בקלות ולראות כי <math>r\to\infty</math>.

===מד"ר לינארית===
*מד"ר לינארית היא מד"ר מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)</math>.
*אם <math>f(x)\equiv 0</math> אזי המד"ר נקראת הומוגנית.
*בעיית הקושי למד"ר הלינארית היא המשוואה יחד עם תנאי ההתחלה <math>y(x_0)=b_0,y'(x_0)=b_1,...,y^{(n-1)}(x_0)=b_{n-1}</math>
*משפט קיום ויחידות: אם <math>a_i(x),f(x)</math> רציפות בקטע <math>I</math> ויהי <math>x_0\in I</math>, אזי קיים פתרון יחיד בקטע <math>I</math> לבעיית הקושי.


*נגדיר את אופרטור הגזירה <math>D</math> על מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים.
*<math>a(x)D</math> גם הוא אופרטור לינארי
*לכן ניתן לכתוב מד"ר לינארית כ <math>Ty=f(x)</math> כאשר <math>T=D^n+\sum_{k=1}^{n-1} a_k(x)\cdot D^k + I </math> אופרטור לינארי.

====מד"ר לינארית הומוגנית====
*אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי.
**זה הרי הגרעין של האופרטור <math>T</math> המתואר לעיל


*תזכורת: <math>y_1,...,y_n</math> נקראת תלויות לינארית אם קיימים קבועים לא כולם אפס כך ש <math>c_1y_1+...+c_ny_n\equiv 0</math> (הצירוף הוא פונקצית האפס).


*הגדרה: הוורונסיקאן <math>W(x)</math> של הפונקציות <math>y_1,...,y_n</math> הוא הדטרמיננטה <math>\left|\begin{pmatrix}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\
\vdots & \vdots &  &\vdots\\
y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)}

\end{pmatrix}\right|</math>


*אם <math>y_1,...,y_n</math> ת"ל אזי <math>W(x)\equiv 0</math>.
**נתון כי <math>c_1y_1+...+c_ny_n=0</math>
**נגזור <math>c_1y_1'+...+c_ny_n'=0</math>
**נמשיך ולגזור ונקבל שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>c_1y_1^{(k)}+...+c_ny_n^{(n-1)}=0</math>.
**לכן <math>\begin{pmatrix}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\
\vdots & \vdots &  &\vdots\\
y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)}

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix}=0</math>
**כיוון שלמטריצה יש פתרון לא טריוואלי (ללא תלות בx) היא אינה הפיכה והדטרמיננטה שלה היא אפס.


*אם <math>W(x_0)=0</math> עבור <math>x_0\in I</math> כלשהו עבור <math>y_1,...,y_n</math> '''פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית''' עם מקדמים רציפים בקטע <math>I</math>, אזי הפתרונות ת"ל ו<math>W(x)\equiv 0</math>.
**כיוון ש<math>W(x_0)=0</math> קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>
c_1y_1^{(k)}(x_0)+...+c_ny_n^{(k)}(x_0)=0</math>.
**נביט בפונקציה <math>g(x)=c_1y_1(x)+...+c_ny_n(x)</math>, לפי לינאריות גם <math>g(x)</math> פתרון של המד"ר.
**כיוון שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>g^{(k)}(x_0)=0</math> ולפי יחידות הפתרון, נובע כי <math>g(x)\equiv 0</math> (הרי פונקצית האפס היא פתרון שמקיים את אותם תנאיי ההתחלה).


*הערה: ייתכנו פונקציות בת"ל שהוורונסיקאן שלהן מתאפס, אם הן לא פתרונות לאותו מד"ר לינארית. למשל <math>x^2,x|x|</math>.


*דוגמא:
**נביט בוורונסקיאן של <math>e^{\lambda_1x},...,e^{\lambda_nx}</math>.
**<math>W(x)=\left|\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1x} & \cdots & e^{\lambda_nx} \\
\vdots & & \vdots \\
\lambda_1^{n-1}e^{\lambda_1x}  & \cdots & \lambda_n^{n-1}e^{\lambda_nx}
\end{pmatrix}\right|=e^{(\lambda_1+...+\lambda_n)x}\left|\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
\vdots & & \vdots \\
\lambda_1^{n-1}& \cdots & \lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}\right|</math>
**זו מטריצת ונדרמונד ולכן <math>W(x)=e^{(\lambda_1+...+\lambda_n)x}\prod_{i<j}(\lambda_j-\lambda_i)</math>
**לכן הפונקציות בת"ל אם ורק אם כל הקבועים שונים זה מזה <math>\lambda_i\neq\lambda_j</math>

*הוכחה לחישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונד:
:<math>
\left|\begin{pmatrix}
1 & 1 &\cdots & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 &\cdots & \lambda_n\\
\vdots & && \vdots \\
\lambda_1^{n-2}&\lambda_2^{n-2}&\cdots&\lambda_n^{n-2}\\
\lambda_1^{n-1}& \lambda_2^{n-1}&\cdots & \lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}\right|=
</math>
:נבצע את פעולות השורה<math>R_n-\lambda_1 R_{n-1}\\R_{n-1}-\lambda_1 R_{n-2}\\\vdots\\R_2-\lambda_1 R_1</math>
:<math>=\left|\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0&\lambda_2-\lambda_1&\cdots&\lambda_n-\lambda_1\\
\vdots & && \vdots \\
0&\lambda_2^{n-3}(\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&\lambda_n^{n-3}(\lambda_n-\lambda_1)\\
0&\lambda_2^{n-2}(\lambda_2-\lambda_1)& \cdots & \lambda_n^{n-2}(\lambda_n-\lambda_1)
\end{pmatrix}\right|=
(\lambda_2-\lambda_1)\cdots(\lambda_n-\lambda_1)\cdot
\left|\begin{pmatrix}
1 & 1 &\cdots & 1 \\
\lambda_2 & \lambda_3 &\cdots & \lambda_n\\
\vdots & && \vdots \\
\lambda_2^{n-2}&\lambda_3^{n-2}&\cdots&\lambda_n^{n-2}\\
\lambda_2^{n-1}& \lambda_3^{n-1}&\cdots & \lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}\right|
</math>
:כאשר המעבר הוא חישוב דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה
:ומכאן סיימנו באינדוקציה



*מרחב הפתרונות של המד"ר הלינארית ההומוגנית הוא ממימד n.
**לכל <math>0\leq k\leq n-1</math> נגדיר את <math>y_k</math> להיות הפתרון המקיים את תנאי ההתחלה <math>y_k^{(k)}(x_0)=1</math> ואם <math>j\neq k</math> אז <math>y_k^{(j)}(x_0)=0</math>.
**נוכיח שn פתרונות אלה מהווים בסיס.
***<math>W(x_0)=|I|=1</math> ולכן הפתרונות בת"ל.
***עבור תנאי ההתחלה <math>y^{(k)}(x_0)=b_k</math> פתרון המקיים תנאיי התחלה אלו הוא <math>b_0y_0+...+b_{n-1}y_{n-1}</math>, ולכן הקבוצה פורשת.


*דוגמא: משוואת המסה על קפיץ <math>x''+kx=0</math>
**נביט בפתרונות <math>x_1=cos\left(\sqrt{k}t\right),x_2=sin\left(\sqrt{k}t\right)</math>, הן אכן פותרות את המשוואה.
**נביט בוורונסקיאן <math>\left|\begin{pmatrix}
cos\left(\sqrt{k}t\right) & sin\left(\sqrt{k}t\right)\\
-\sqrt{k}sin\left(\sqrt{k}t\right) & \sqrt{k}cos\left(\sqrt{k}t\right)
\end{pmatrix}\right|=\sqrt{k}\neq 0</math>
**לכן אלו שני פתרונות בת"ל שפורשים את כל מרחב הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)</math>

====מד"ר לינארית לא הומוגנית====

*פתרון כללי למד"ר הלינארית שווה לפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית ועוד פתרון פרטי למד"ר הלא הומוגנית
**הוכחה זהה לטיעון לגבי מערכות משוואות לינאריות.


*דוגמא: <math>y''=-ky+g</math> מסה התלוייה על קפיץ אנכי, עם השפעת כוח המשיכה. גובה אפס הוא הנקודה בה הקפיץ רפוי, הכיוון החיובי הוא למטה.
**נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
**נחפש פתרון מהצורה <math>y=a</math>.
**נציב ונקבל <math>y=\frac{g}{k}</math>.
*לכן פתרון כללי למד"ר הוא <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)+\frac{g}{k}</math>.


*דוגמא: <math>x''=-kx+sin(t)</math> מסה על קפיץ עם כוח חיצוני שתלוי בזמן.
**נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
**נחפש פתרון מהצורה <math>x=asin(t)</math>.
**<math>-asin(t)=-kasin(t)+sin(t)</math>.
**<math>a(k-1)sin(t)=sin(t)</math>.
**משוואה זו תתקיים עבור <math>a=\frac{1}{k-1}</math>.
*לכן פתרון כללי למד"ר הוא <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)+\frac{1}{k-1}sin(t)</math>.

==הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים==

ראשית נציג גישה אחת לנושא, ומאוחר יותר נציג גרסא מעודכנת (2022) המבוססות יותר על אופרטורים.

===פולינום אופייני===

*נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> כאשר <math>a_i\in\mathbb{R}</math>.
*דוגמאות:
**משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>.
**<math>y''-2y'+y=0</math>.


*ננחש פתרון למד"ר מהצורה <math>y=e^{\lambda x}</math>.
*נציב במד"ר ונקבל <math>\lambda^ne^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}e^{\lambda x} +...+a_0e^{\lambda x}=0</math>.
*לכן <math>\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_0=0</math>.
*נגדיר את '''הפולינום האופייני''' של המד"ר להיות <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>.
*לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר.


*דוגמא: <math>y''=y</math>
**נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
***<math>y''-y=0</math>
***<math>p(x)=x^2-1</math>
**לכן השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm 1</math>.
**לכן שני פתרונות למד"ר הם <math>e^x,e^{-x}</math>.
**ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא <math>c_1e^{x}+c_2e^{-x}</math>.


*מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)? 
*מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו?
*הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''+ky=0</math> הוא <math>x^2+k</math>.
*הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> הוא <math>x^2-2x+1=(x-1)^2</math>.


*כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת:
**ראשית, אם <math>a+bi</math> שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום.
**נזכר גם כי <math>e^{ibx}=\cos(bx)+i\sin(bx)</math>
**כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים <math>a\pm bi</math> לכן <math>e^{(a\pm bi)x}</math> הן פתרונות.
**לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון:
***<math>\frac{1}{2}\left(e^{ax+ibx}+e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\cos(bx)</math>
***<math>\frac{-i}{2}\left(e^{ax+ibx}-e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\sin(bx)</math>
***עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!


*דוגמא משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>.
**הפולינום האופייני הינו <math>x^2+k=0</math>.
**שורשי הפולינום האופייני הינם <math>\pm\sqrt{k}i</math>.
**הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם <math>e^{0\cdot x}\cos\left(\sqrt{k}x\right),e^{0\cdot x}\sin\left(\sqrt{k}x\right)</math>.


*כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו:
**ראשית, נביט באופרטור הלינארי <math>D=\frac{d}{dx}</math> ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב<math>I</math> את אופרטור הזהות.
**למשל המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> ניתנת להצגה כ<math>\left(D^2-2D+I\right)y=0</math>.
**לכן <math>\left(D-I\right)\left(D-I\right)y=0</math>.
**הפולינום האופייני של המד"ר הוא <math>(x-1)^2=0</math> ולכן <math>y=e^x</math> הוא פתרון.
**כעת, נראה כי גם <math>xe^x</math> הוא פתרון של המד"ר.
***<math>\left(D-I\right)\left(D-I\right)xe^x=\left(D-I\right)(e^x+xe^x-xe^x)=0</math>
**באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא <math>n</math> אזי לכל <math>0\leq k \leq n-1</math> הביטוי <math>x^ke^{\lambda x}</math> הוא פתרון.

===סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים===

*מוצאים את הפולינום האופייני, ואת כל השורשים שלו (כולל המרוכבים).
*לכל שורש ממשי <math>\lambda</math> מריבוי <math>n</math> מתאימים הפתרונות <math>e^{\lambda x},xe^{\lambda x},...,x^{n-1}e^{\lambda x}</math>.
*לכל שורש מרוכב <math>a+bi</math> מריבוי <math>n</math> (ידוע שגם הצמוד שלו שורש מאותו ריבוי) מתאימים הפתרונות <math>e^{ax}\cos(bx),e^{ax}\sin(bx),xe^{ax}\cos(bx),xe^{ax}\sin(bx),...,x^{n-1}e^{ax}\cos(bx),x^{n-1}e^{ax}\sin(bx)</math>
*סה"כ מצאנו למד"ר מסדר n בדיוק n פתרונות.
*הפתרונות הללו בת"ל ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי שלהם.
**נוכיח שהפתרונות בת"ל (מעל המרוכבים).
**<math>P_1e^{\lambda_1 x}+...+P_ne^{\lambda_n x} \equiv 0</math>.
**נניח ש<math>|\lambda_i|\leq|\lambda_n|</math>, נחלק ב<math>e^{\lambda_n x}</math>.
**נציב <math>x=t\overline{\lambda_n}</math> ונשאיף את <math>t\to\infty</math>.
**נקבל כי הפולינום המקדם של האקספוננט הגדול ביותר חייב להיות אפס.
**לכן באינדוקציה כל הפולינומים חייבים להיות אפס, ולכן כל אחד מהקבועים חייב להיות אפס.
**כיוון שהפתרונות בת"ל מעל המרוכבים, אפשר ליצור איתם כל תנאי התחלה, ולקבל פונקציות ממשיות שפותרות אותו.


*דוגמא: מצאו את הפתרון הכללי של המד"ר <math>y^{(4)}-6y'''+14y''-16y'+8y=0</math>.
**ראשית, נמצא את הפולינום האופייני <math>p(x)=x^4-6x^3+14x^2-16x+8=0</math>.
**ננחש ש2 הוא שורש, נבצע חילוק, ננחש שוב את 2 כשורש ונקבל כי <math>p(x)=(x-2)^2(x^2-2x+2)</math>.
**לכן השורשים של הפולינום האופייני הם 2 מריבוי 2, ו<math>1\pm i</math> מריבוי 1.
**לכן הפתרון הכללי הוא <math>y=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}+c_3e^xsin(x)+c_4e^xcos(x)</math>.


*דוגמא: מצאו את הפתרון של המד"ר <math>y'''+3y''+3y'+y=0</math> המקיים <math>y(0)=0,y'(0)=1,y''(0)=0</math>.
**הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=(x+1)^3</math>.
**הפתרון הכללי הוא <math>y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+c_3x^2e^{-x}</math>.
**כעת נמצא את הקבועים:
***<math>y(0)=c_1=0</math>.
***<math>y'(0)=c_2=1</math>.
***<math>y''(0)=-2+2c_3=0</math> ולכן <math>c_3=1</math>.
**סה"כ הפתרון הוא <math>y=e^{-x}(x+x^2)</math>.


===גישה מבוססת אופרטורים===

*נציג את המד"ר הלינארית עם מקדמים קבועים באמצעות אופרטור הגזירה:
*<math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y = (D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_0 I)y=Ty</math>
*נגדיר את הפולינום האופייני <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math>
*סה"כ האופרטור של המד"ר הוא <math>T=p(D)</math>


*נפרק את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים מעל המרוכבים
*<math>p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n)</math>
*ונקבל כי <math>T=p(D)=(D-\lambda_1 I)\cdots (D-\lambda_n I)</math>
**שימו לב כי מותר לפתוח סוגריים באופן טבעי ואפשר להחליף בין סדר הגורמים כיוון ש <math>D,\lambda I</math> אופרטורים מתחלפים.


*כיוון שמותר להחליף את סדר הגורמים נובע כי אם <math>\lambda</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי <math>k</math> אזי
**<math>\ker\left((D-\lambda I)^k\right)\subseteq \ker T</math>


בטקסט לעיל, למדנו איך למצוא בסיס לגרעין הזה.

==הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית==

*כבר ראינו שעל מנת למצוא פתרון כללי למד"ר לינארית לא הומוגנית, עלינו למצוא פתרון כללי למד"ר ההומוגנית (למדנו כיצד בהרצאה קודמת), ופתרון פרטי כלשהו למד"ר הלא הומוגנית.
*נלמד כיצד למצוא פתרון פרטי.


===שיטת הניחוש עבור מד"ר עם מקדמים קבועים===
*תהי מד"ר מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=f(x)</math>.


*אם <math>f(x)=P_m(x)</math> פולינום מדרגה m:
**<math>0</math> '''אינו''' שורש של הפולינום האופייני, ננחש <math>y_p=Q_m(x)</math> פולינום מדרגה m.
**אם <math>0</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש <math>y_p=x^kQ_m(x)</math>.


*אם <math>f(x)=e^{ax}P_m(x)</math>:
**אם <math>a</math> '''אינו''' שורש של הפולינום האופייני ננחש <math>y_p=e^{ax}Q_m(x)</math>.
**אם <math>a</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש <math>y_p=x^ke^{ax}Q_m(x)</math>.


*אם <math>f(x)=e^{ax}sin(bx)P_m(x)</math> או <math>f(x)=e^{ax}cos(bx)P_m(x)</math>:
**אם <math>a\pm bi</math> '''אינם''' שורשים של הפולינום האופייני ננחש <math>y_p=e^{ax}sin(bx)Q_m(x) + e^{ax}cos(bx)R_m(x)</math> (כאשר <math>R_m(x),Q_m(x)</math> פולינומים מסדר m).
**אם <math>a\pm bi</math> שורשים של הפולינום האופייני מריבוי k כל אחד, ננחש <math>y_p=x^ke^{ax}sin(bx)Q_m(x) + x^ke^{ax}cos(bx)R_m(x)</math>.


*דוגמאות:
**עבור <math>y''+2y'+y=x^2</math> הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=(x+1)^2</math> ננחש את הפתרון <math>y_p=ax^2+bx+c</math>.
**עבור <math>y''+2y'+y=e^{x}</math> כעת <math>1</math> אינו שורש של הפולינום האופייני, ולכן ננחש <math>y_p=ae^x</math>. (שימו לב שהפולינום הוא בעצם מדרגה 0.)
**עבור <math>y''+2y'+y=xe^{-x}</math> כעת <math>-1</math> הוא שורש מריבוי 2 ולכן ננחש את הפתרון <math>y_p=x^2e^{-x}(a+bx)</math>.
**עבור <math>y''+y=sin(x)</math> הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=x^2+1</math> השורש <math>0+i</math> מופיע מריבוי 1 ולכן ננחש <math>y_p=axsin(x)+bxcos(x)</math>.


*לאחר הניחוש, נמצא את הקבועים ע"י הצבה. נחשב עבור הדוגמא הראשונה:
**המד"ר <math>y''+2y'+y=x^2</math>, הניחוש <math>y_p=ax^2+bx+c</math>.
***<math>y_p'=2ax+b</math>.
***<math>y_p''=2a</math>.
***נציב <math>2a+4ax+2b+ax^2+bx+c=x^2</math>.
***נבצע השוואת מקדמים:
****<math>a=1</math>.
****<math>4a+b=0</math>.
****<math>2a+2b+c=0</math>.
**לכן הפתרון הפרטי הוא <math>y_p=x^2-4x+6</math>.
**סה"כ הפתרון הכללי הוא <math>c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+x^2-4x+6</math>.

===וריאצית מקדמים יחד עם שיטת קרמר למד"ר לינארית===

*תהי מד"ר לינארית (לאו דווקא עם מקדמים קבועים) מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)</math>.
*יהיו <math>y_1,...,y_n</math> פתרונות בת"ל למד"ר ההומוגנית.
*ננחש כי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>y_p=c_1(x)y_1+...+c_n(x)y_n</math>.



*טענה - עבור פונקציות <math>c_1(x),...,c_n(x)</math> המקיימות את מערכת המשוואות 

<math>\begin{cases}
c_1'y_1+...+c_n'y_n=0 \\
c_1'y_1'+...+c_n'y_n'=0 \\
\vdots \\
c_1'y_1^{(n-2)} +...+c_n'y_n^{(n-2)}=0\\
c_1'y_1^{(n-1)}+...+c_n'y_n^{(n-1)}=f(x)
\end{cases}</math> 

מתקיים כי <math>y_p=c_1(x)y_1+...+c_n(x)y_n</math> הוא פתרון פרטי של המד"ר.


*הוכחה:
**<math>y_p'=c_1'y_1+\cdots+c_n'y_n+c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'=c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'</math>. (לפי המשוואה הראשונה.)
**באופן דומה <math>y_p''=c_1y_1''+\cdots+c_ny_n''</math>. (לפי המשוואה השנייה.)
**נמשיך כך עד שנקבל <math>y_p^{(n-1)} = c_1y_1^{(n-1)}+\cdots +c_ny_n^{(n-1)}</math>
**כעת נגזור ונקבל <math>y_p^{(n)}=f(x)+c_1y_1^{(n)}+\cdots+c_ny_n^{(n)}</math>, לפי המשוואה האחרונה.
**נציב במד"ר המקורית: 
***<math>y_p^{(n)}+a_{n-1}(x)y_p^{(n-1)}+\cdots + a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)+c_1(y_1^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_1)+\cdots+c_n(y_n^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_n)</math>
**כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן <math>y_p'''+a_2(x)y_p''+a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)</math>.


*נכתוב '''שוב''' את ההוכחה, בעזרת סימן הסכימה (עשוי להיות נוח יותר או פחות):
**ראשית, ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל <math>0\leq m\leq n-1</math> מתקיים כי 
**<math>D^m y_p = D^m \sum_{k=1}^n c_k(x)y_k = \sum_{k=1}^n c_k(x)D^m y_k</math>
**כעת בעזרת המשוואה האחרונה נקבל כי
**<math>D^n y_p = D D^{n-1}y_p = D\sum_{k=1}^nc_k(x)D^{n-1}y_k=\sum_{k=1}^n c'_k(x)D^{n-1}y_k + \sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k</math>
**נציב במד"ר ונקבל
**<math>Ty_p=D^ny_p +\sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^ty_p=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)\left(\sum_{k=1}^n c_k(x)D^t y_k\right)=</math>
**<math>=f(x)+\sum_{k=1}^n c_k(x)\left(D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^t y_k\right) = f(x)+0</math>



*כלומר, על מנת למצוא פתרון פרטי, עלינו למצוא פתרון למערכת המשוואות הבאה:
*<math>
\begin{pmatrix}
y_1 & \cdots & y_n \\
\vdots & & \vdots \\
y_1^{(n-2)} & \cdots & y_n^{(n-2)}\\
y_1^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1' \\ \vdots \\ c_n'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(x)
\end{pmatrix}
</math>
*אבל דטרמיננטת מטריצת המקדמים היא בדיוק הוורונסקיאן! 
*כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> בסיס למרחב הפתרונות, מטריצת המקדמים הפיכה לכל <math>x</math> ולכן קיים פתרון (יחיד) למערכת.
*כיצד נמצא את הפתרון? שיטת קרמר.
*לאחר שנמצא את הערכים של <math>c_k'(x)</math> נבצע אינטגרציה ונמצא סה"כ את הפתרון הפרטי.


*דוגמא - מצאו פתרון כללי למד"ר <math>y''+y=sin^2(x)</math>.
**פתרון כללי למד"ר ההומוגנית הוא <math>c_1cos(x)+c_2sin(x)</math>. 
**כעת עלינו למצא פתרון פרטי <math>y_p=c_1(x)cos(x)+c_2(x)sin(x)</math>.
**עלינו למצוא פתרון למערכת <math>
\begin{pmatrix}
cos(x) & sin(x) \\
-sin(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1'(x) \\ c_2'(x)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ sin^2(x)
\end{pmatrix}
</math>
** לכן לפי שיטת קרמר 
***<math>
c_1'(x)=\frac{
\left|
\begin{pmatrix}
0 & sin(x) \\
sin^2(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\right|
}
{
\left|
\begin{pmatrix}
cos(x) & sin(x) \\
-sin(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\right|
}=-sin^3(x)
</math>
***<math>
c_2'(x)=\frac{
\left|
\begin{pmatrix}
cos(x) & 0 \\
-sin(x) & sin^2(x)
\end{pmatrix}
\right|
}
{
\left|
\begin{pmatrix}
cos(x) & sin(x) \\
-sin(x) & cos(x)
\end{pmatrix}
\right|
}=sin^2(x)cos(x)
</math>
***לכן <math>c_1(x)=\int (-sin^3(x))dx = \int (1-cos^2(x))(-sin(x))dx=\{t=cos(x)\}=\int (1-t^2)dt=t-\frac{t^3}{3}=cos(x)-\frac{cos^3(x)}{3}</math>
***<math>c_2(x)=\int sin^2(x)cos(x)dx =\{t=sin(x)\}= \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} = \frac{sin^3(x)}{3}</math>
**סה"כ הפתרון הפרטי הוא <math>y_p=(cos(x)-\frac{cos^3(x)}{3})cos(x) + \frac{sin^3(x)}{3}sin(x)</math>.



*דוגמא:
*שימו לב שיכלנו לפתור את השאלה הקודמת בדרך אחרת, קצרה יותר, עם טריק.
*מתקיים כי <math>sin^2(x)=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos(2x)</math>.
*נמצא פתרון פרטי <math>y_{p_1}</math> למד"ר <math>y''+y=\frac{1}{2}</math> בשיטת הניחוש.
*נמצא פתרון פרטי <math>y_{p_2}</math> למד"ר <math>y''+y=-\frac{1}{2}cos(2x)</math> בשיטת הניחוש.
*לכן <math>y_p=y_{p_1}+y_{p_2}</math> הוא פתרון פרטי למד"ר <math>y''+y=sin^2(x)</math> מתוך לינאריות.

==הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור==
===שימוש בטורי טיילור===
*ננחש שהפתרון הוא טור חזקות, ואם אכן יש פתרון כזה, נמצא את המקדמים.
*גם אם לא נוכל למצוא נוסחא פשוטה לפונקציה, עדיין טור החזקות יכול לתת קירוב שלה.


*דוגמא: הזזת אינדקס של טור טיילור.
**הזיזו את האינדקס של הטור <math>\sum_{n=4}^\infty na_{2n+1}x^{n-2}</math> כך שהחזקה תהיה <math>k</math>.
**אנחנו רוצים להציב <math>k=n-2</math> ולכן <math>n=k+2</math>.
**כיוון ש<math>n</math> מתחיל מ4, נובע ש<math>k</math> יתחיל מ2.
**סה"כ נקבל כי <math>\sum_{n=4}^\infty na_{2n+1}x^{n-2}=\sum_{k=2}^\infty  (k+2)a_{2k+5}x^k</math>.


*דוגמא מצאו את הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>.
*עבור <math>x\neq 0</math> מדובר במד"ר לינארית הומוגנית בעלת שני פתרונות בת"ל.


*ננחש כי קיים פתרון בצורת טור טיילור <math>y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math>.
*שימו לב שאנו מניחים שהפונקציה מוגדרת באפס, ייתכן שנרצה לפתח טור טיילור סביב נקודות אחרות באופן כללי.


*נציב במשוואה ונקבל:
*<math>x\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2} -(x+2)\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}+2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0</math>
*<math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1} -\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n} - \sum_{n=1}^\infty 2na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^\infty 2a_nx^n=0</math>
*<math>\sum_{k=1}^\infty (k+1)ka_{k+1}x^{k} -\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k} - \sum_{k=0}^\infty 2(k+1)a_{k+1}x^{k}+\sum_{k=0}^\infty 2a_kx^k=0</math>
*<math>-2a_1+2a_0+\sum_{k=1}^\infty \left((k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k\right)x^k=0</math>
*לכן:
**<math>a_0=a_1</math>
**לכל <math>k\geq 1</math> מתקיים <math>(k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k=0</math>.
***עבור <math>k=2</math> מקבלים <math>0=0</math>.
***עבור <math>k\neq 2</math> נחלק ב<math>k-2</math> ונקבל <math>(k+1)a_{k+1}=a_k</math>.


*סה"כ המשוואות שקיבלנו הן
**<math>a_1=a_0</math>
**<math>a_2=\frac{1}{2}a_1</math>
**<math>a_4=\frac{1}{4}a_3</math>
**<math>a_5=\frac{1}{5}a_4</math>
**וכן הלאה.


*נשים לב כי באופן כללי <math>a_0,a_3</math> חופשיים.
*עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=0</math> נקבל את הפתרון <math>y=\frac{1}{2}x^2+x+1</math>.
*עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=\frac{1}{3!}</math> נקבל את הפתרון <math>y=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=e^x</math>.


*נבדוק שהפתרונות בת"ל:
**<math>W(x)=\left|\begin{pmatrix}e^x & \frac{1}{2}x^2+x+1\\ e^x & x+1\end{pmatrix}\right|=-\frac{e^xx^2}{2}</math>
**לכל <math>x\neq 0</math> הוורונסיקאן שונה מאפס ולכן הפתרונות בת"ל.
**שימו לב שהוורונסיקאן התאפס בנקודה אחת, אבל זה בסדר כי המד"ר היא לינארית עבור <math>x\neq 0</math>.
**אכן ב<math>x=0</math> משפט היחידות לא עובד, שני הפתרונות מקיימים <math>y(0)=1, y'(0)=1</math>.


*סה"כ הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1e^x+c_2\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)</math>


====מציאת פתרון פרטי====
*דוגמא - מצאו את הפתרון הכללי למד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=x^3e^x</math>.
*ראשית נעביר את המד"ר לצורה סטנדרטית <math>y''-\frac{x+2}{x}y'+\frac{2}{x}y=x^2e^x</math>
*נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על הפתרון למד"ר ההומוגנית יחד עם כלל קרמר.
**נחפש פתרון מהצורה <math>y_p=c_1(x)e^x+c_2(x)\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)</math>.
**כעת <math>c_1'=\frac{\left|\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}x^2+x+1 \\ x^2e^x & x+1\end{pmatrix}\right|}{W(x)}=x^2+2x+2</math>
**לכן <math>c_1(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+2x</math>.
**כמו כן, <math>c_2'=\frac{\left|\begin{pmatrix} e^x & 0 \\ e^x & x^2e^x\end{pmatrix}\right|}{W(x)}=-2e^x</math>
**לכן <math>c_2(x)=-2e^x</math>.
*סה"כ הפתרון הפרטי הינו <math>y_p=\left(\frac{1}{3}x^3+x^2+2x\right)e^x-2e^x\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right) = e^x\left(\frac{1}{3}x^3-2\right)</math>
*לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1e^x+c_2\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)+e^x\left(\frac{1}{3}x^3-2\right)</math>

==הרצאה 9 מערכות מד"ר==

===מערכת מד"ר לינארית מסדר ראשון עם מקדמים קבועים===
*לעיתים יש לנו מד"ר העוסקות במספר פונקציות שונות.
*נניח שיש לנו סיר מים מתבשל על הגז.
*A היא מסת המים בסיר, וB היא מסת המים שהתאדו אל המכסה.
*נניח שקצב התאדות המים מהסיר אל המכסה הוא <math>\alpha\cdot A</math> וקצב התעבות המים מהמכסה בחזרה לסיר הוא <math>\beta\cdot B</math>.
*לכן <math>\begin{cases}A'=\beta B - \alpha A \\ B' = \alpha A - \beta B\end{cases}</math>
*נסמן את שתי הפונקציות ב<math>y_1,y_2</math> ונניח כי <math>\alpha =1, \beta=2</math>.
*נקבל את המערכת <math>\vec{y}'=A\vec{y}</math> כלומר <math>\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} </math>


*נראה כיצד לכסון המטריצה A יעזור לנו לפתור את המערכת.
*במקרה בו A אינה לכסינה לא נטפל, אך אפשר לפתור אותו באופן כללי.
*עבור ו"ע מתקיים כי <math>A\vec{v}=\lambda \vec{v}</math>.
*כיוון שהוקטור <math>\vec{v}</math> הוא וקטור קבועים, <math>\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)'=\lambda\vec{v}e^{\lambda x} = A\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)</math>.
*כלומר, <math>\vec{y}=\vec{v}e^{\lambda x}</math> הוא פתרון למערכת.


*בחזרה לדוגמא:
**הע"ע של <math>\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}</math> הם <math>0,-3</math>.
**הו"ע המתאימים הם <math>\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math>
**הפתרון הכללי הוא <math>\vec{y}=c_1\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}e^0+c_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{-3x}</math>
**כלומר <math>y_1=2c_1+c_2e^{-3x}</math> ו<math>y_2=c_1-c_2e^{-3x}</math>


*שימו לב שככל שעובר הזמן היחס בין המים בסיר למים על המכסה שואף להיות קבוע.
*שימו לב ש<math>c_1=\frac{y_1(0)+y_2(0)}{3}</math>, זה הגיוני כיוון שמסת המים אינה משתנה בתהליך.


====שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני====
*נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ.
*נניח כי <math>y_2<y_1</math> מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן.
*נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה.
*נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד.
*לכן מתקבלת מערכת המד"ר <math>\begin{cases}y_1''=-k(y_1-y_2) \\ y_2''=k(y_1-y_2)\end{cases}</math>
*שימו לב שכאשר הקפיץ מתוח הוא מושך את שתי המסות למרכז, כלומר את המסה הראשונה (הימנית) הוא מושך שמאלה (בכיוון השלילי), ואת המסה השנייה (השמאלית) הוא מושך ימינה (בכיוון החיובי)
*נסמן <math>A=\begin{pmatrix}-k & k \\ k & -k\end{pmatrix}</math>, ולכן <math>\vec{y}''=A\vec{y}</math>.


*הע"ע של A הינם <math>0,-2k</math>.
*עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>0</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=0</math>.
**לכן אם נבחר <math>f(t)</math> כך ש<math>f''=0</math>, ונבחר <math>\vec{y}=\vec{v}f(t)</math> אזי נקבל <math>\vec{y}''=0=A\vec{v}f(t)=A\vec{y}</math>.
**כלומר <math>\vec{y}=\vec{v}(c_1t+c_2)</math> הוא פתרון למערכת.
*עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>-2k</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=-2k\vec{v}</math>.
**לכן אם נבחר <math>f(t)</math> כך ש<math>f''=-2kf</math> ונבחר <math>\vec{y}=\vec{v}f(t)</math> אזי נקבל <math>\vec{y}''=-2k\vec{v}f(t)=A\vec{v}f(t)=A\vec{y}</math>.
**לכן <math>\vec{y}=\left(c_3cos\left(\sqrt{2k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{2k}t\right)\right)\vec{v}</math> הוא פתרון למשוואה.


*ביחד קיבלנו פתרון כללי <math>\vec{y}=(c_1t+c_2)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\left(c_3cos\left(\sqrt{2k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{2k}t\right)\right)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} </math>
*תנאי ההתחלה הם המיקומים והמהירויות של כל אחת מהמסות.

====קשר בין מד"ר מסדר גבוה למערכת מד"ר מסדר ראשון====
*נביט במד"ר <math>f(x,y,y',...,y^{(n)})=0</math>.
*נסמן <math>y_1=y,y_2=y',...,y_n=y^{(n-1)}</math>.
*לכן המד"ר שקולה למערכת מסדר ראשון <math>\begin{cases}y_1'=y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1}'=y_n \\ f(x,y_1,...,y_n,y_n')=0\end{cases}</math>.


*בפרט, המד"ר הלינארית <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> שקולה למערכת <math>\begin{cases}y_1'=y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1}'=y_n \\ y_n'=-a_{n-1}y_{n}-...-a_0y_1\end{cases}</math>
*בכתיב מטריצות קיבלנו את המערכת <math>\vec{y}'=A\vec{y}</math> כאשר:
**<math>\vec{y}=\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}</math>
**<math>A=\begin{pmatrix}
 & 1  \\
 &  & 1 \\
 &  &  & \ddots \\
 & & & & 1\\
-a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1}
\end{pmatrix}</math>
*הפולינום האופייני של <math>A</math> הוא:
**<math>p_A(x)=\left|\begin{pmatrix}
x & -1  \\
 & x & -1 \\
 &  & \ddots & \ddots \\
 & & & x& -1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2} & x+a_{n-1}
\end{pmatrix}\right|</math>
**ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>p_A(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>, בדיוק הפולינום האופייני של המד"ר המקורית, לא במפתיע.

==הרצאה 10 התמרת לפלס==
*התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.
*עבור הפונקציה <math>y(t)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt</math>.
*שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s.
*אם מתקיים כי <math>|y(t)|\leq Me^{at}</math> אזי ההתמרה מתכנסת לכל <math>s>a</math>.
**<math>\left|\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt\right|\leq \int_0^\infty\left|e^{-st}y(t)\right|dt\leq \int_0^\infty Me^{(a-s)t}dt=\left[M\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^\infty</math>
**הביטוי האחרון מתכנס לכל <math>s>a</math>.
*נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה.


*דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה <math>1</math>.
**<math>\mathcal{L}(1)=\int_0^\infty e^{-st}dt = \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^\infty = \frac{1}{s}</math>



*בויקיפדיה ניתן למצוא [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1#%D7%98%D7%91%D7%9C%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1 טבלה של התמרות לפלס שימושיות].
*שימו לב לשימוש בפונקצית המדרגה <math>u(t)=\begin{cases}1 & t\geq 0\\ 0 & t<0\end{cases}</math> שמאפסת את כל החלק השלילי של ציר הx.
**הפונקציה <math>u(t-a)</math> מאפסת את ציר הx בקטע <math>(-\infty,a)</math>.


===תכונות התמרת לפלס===
*יחידות:
**אם <math>y_1,y_2</math> רציפות, ו<math>\mathcal{L}(y_1)=\mathcal{L}(y_2)</math> אזי <math>y_1=y_2</math>.
**[http://ctr.maths.lu.se/media/MATC12/2013ht2013/uniqueness.pdf הוכחה]
*לינאריות:
**<math>\mathcal{L}(y_1+ay_2) = \mathcal{L}(y_1)+a\mathcal{L}(y_2)</math>
*התמרת הנגזרת הראשונה:
**<math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>
*התמרת נגזרת כללית:
**<math>\mathcal{L}(y^{(n)})=s^n\mathcal{L}(y)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-...-y^{(n-1)}(0)</math>
*הזזה של המשתנה s:
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>F(s-a)=\mathcal{L}(e^{at}y)</math>
*הזזה של המשתנה t:
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>e^{-as}F(s)=\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))</math>
*תכונות נוספות:
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty)=-F'(s)</math>
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty')=-F(s)-sF'(s)</math>
**אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty'')=-2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)</math>


*נוכיח חלק מהתכונות לעיל כעת ובהרצאה הבאה.
*נוכיח עבור y החסומה ע"י אקספוננט כי <math>\mathcal{L}(y')=sF(s)-y(0)</math>
**<math>\mathcal{L}(y')=\int_0^\infty e^{-st}y'(t)dt</math>
**נבצע אינטגרציה בחלקים
**<math>\int_0^\infty e^{-st}y'(t)dt=\left[e^{-st}y(t)\right]_0^\infty+s\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt = -y(0)+sF(s)</math>


*כעת <math>\mathcal{L}(y'')=s\mathcal{L}(y')-y'(0) = s^2F(s)-sy(0)-y'(0)</math>.
*וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה.


===דוגמאות===


*דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math> את <math>y=e^{ax}</math>
*<math>\mathcal{L}(ae^{ax})=s\mathcal{L}(e^{ax})-1</math>
*סה"כ נקבל כי <math>\mathcal{L}(e^{ax})=\frac{1}{s-a}</math>


*דוגמא - נמצא פתרון למד"ר <math>y'=ry</math>.
*נבצע התמרת לפלס:
**<math>0=\mathcal{L}(y'-ry)=sF(s)-y(0)-rF(s)</math>
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-r}</math>
**לכן <math>y=y(0)e^{rt}</math>


*דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס
*נסמן <math>F(s)=\mathcal{L}(\sin(ax))</math>, <math>G(s)=\mathcal{L}(\cos(ax))</math>
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>:
**נציב <math>y=\sin(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(a\cos(ax))=s\mathcal{L}(\sin(ax))-0</math> כלומר <math>aG(s)=sF(s)</math>
**נציב <math>y=\cos(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(-a\sin(ax))=s\mathcal{L}(\cos(ax))-1</math> כלומר <math>-aF(s)=sG(s)-1</math>
*נקבל סה"כ כי
**<math>\mathcal{L}(sin(ax))=F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}</math>
**<math>\mathcal{L}(cos(ax))=G(s)=\frac{s}{s^2+a^2}</math>

==הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס==


*נוכיח כי <math>\mathcal{L}(e^{at}y(t)) = F(s-a)</math>
**<math>\mathcal{L}(e^{at}y(t))=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}y(t)dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}y(t)dt=F(s-a)</math>


*נפתור את המד"ר <math>y''-2y'+2y=0</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(0)=0,y'(0)=1</math>.
*שימו לב שכבר למדנו איך לפתור מד"ר זו - למצוא פתרון כללי ולהציב תנאי ההתחלה.
*התמרת לפלס עשוייה לחסוך לנו קצת זמן.
*נבצע התמרת לפלס:
**<math>s^2F(s)-sy(0)-y'(0)-2(sF(s)-y(0))+F(s)=0</math>
**<math>F(s)=\frac{1}{s^2-2s+2} = \frac{1}{(s-1)^2+1}</math>
*ידוע ש<math>G(s)=\frac{1}{s^2+1}</math> הינה ההתמרה של <math>sin(t)</math>.
*לכן <math>F(s)=G(s-1)</math> הינה ההתמרה של <math>e^tsin(t)</math>, וזהו פתרון המד"ר.



*נוכיח כי אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty)=-F'(s)</math>
*<math>F(s)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt</math>.
*נגזור את שני הצדדים לפי <math>s</math> ונקבל כי 
**<math>F'(s)=\frac{\partial}{\partial s} \int_0^\infty e^{-st}y(t)dt=\int_0^\infty -te^{-st}y(t)dt=-\mathcal{L}(ty)</math>
**את העובדה שגזרנו בתוך האינטגרל לא נצדיק כאן, היא נכונה עבור פונקציות שחסומות על ידי אקספוננט.


*לכן, <math>\mathcal{L}(ty') = -\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(y') = -\frac{\partial}{\partial s}(sF(s)-y(0)) = -F(s)-sF'(s)</math> 
*כמו כן, <math>\mathcal{L}(ty'') = -\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(y'') = -\frac{\partial}{\partial s}(s^2F(s)-sy(0)-y'(0)) = -(2sF(s)+s^2F'(s)-y(0))</math>



*דוגמא - נחשב את <math>\mathcal{L}(t^n)</math>.
**ידוע כי <math>\mathcal{L}(1)=\frac{1}{s}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(t)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(1)= \frac{1}{s^2}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(t^2)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(t)= \frac{2}{s^3}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(t^3)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(t^2)= \frac{3!}{s^4}</math>
**ובאופן כללי <math>\mathcal{L}(t^n)=\frac{n!}{s^{n+1}}</math>


===דוגמא===
*נפתור את המד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>.
*נבצע התמרת לפלס: 
**<math>\mathcal{L}(xy''-(x+2)y'+2y)=\mathcal{L}(xy'')-\mathcal{L}(xy')-2\mathcal{L}(y')+2\mathcal{L}(y)=</math>
**<math>=-2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)+F(s)+sF'(s)-2sF(s)+2y(0)+2F(s)</math>
**לכן קבלנו את המשוואה <math>(s-s^2)F'(s)+(3-4s)F(s)=-3y(0)</math>


*קיבלנו מד"ר לינארית. 
*לצורך הנוחות, נחליף זמנית את הסימון ונפתור את <math>y'+\frac{3-4x}{x-x^2}y=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math>
**נסמן <math>P(x)=\frac{3-4x}{x-x^2}=\frac{3}{x}+\frac{1}{x-1}</math>, ו<math>Q(x)=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math>
**לכן <math>e^{-\int P(x)}=\frac{1}{x^3(x-1)}</math>.
**כמו כן <math>\int Q(x)e^{\int P(x)} = \int \frac{-3y_0}{x-x^2}x^3(x-1) = \int 3y_0x^2=y_0x^3</math>
**סה"כ הפתרון למד"ר הלינארית הוא <math>y=\frac{1}{x^3(x-1)}\left(y_0x^3+C\right)=\frac{y_0}{x-1}+\frac{C}{x^3(x-1)}</math>


*נחזור לסימון התמרת הלפלס:
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-1}+\frac{C}{s^3(s-1)}=\frac{y(0)+C}{s-1} - C\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s^3}\right)</math>


*נבצע התמרה הפוכה על מנת לקבל את הפתרון למשוואה המקורית:
**<math>y=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=(y(0)+C)e^x - C(1+x+\frac{1}{2}x^2)</math>



===דוגמא===

*נמצא פתרון למד"ר <math>ty''+2y'+ty=0</math> המקיים <math>y(0)=1</math>.
**נבצע התמרת לפלס <math>-2sF(s)-s^2F'(s)+1+2sF(s)-2-F'(s)=0</math>.
**לכן <math>F'(s)=-\frac{1}{1+s^2}</math>
**לכן <math>\mathcal{L}(ty)=\frac{1}{1+s^2}</math>
**לכן <math>ty=sin(t)</math>
**לכן <math>y=\frac{sin(t)}{t}</math>


*הערות:
**הפונקציה שקיבלנו רציפה אם נגדיר אותה ב0 להיות 1, ואכן מקיימת את תנאי ההתחלה.
**מצאנו רק פתרון אחד, כיוון שלפתרון השני <math>\frac{cos(t)}{t}</math> אין התמרת לפלס (האינטגרל לא מתכנס באיזור 0).


==הרצאה 12 - הדלתא של דירק==

===הדלתא של דירק===
*נתחיל ונאמר כי ישנן מספר גישות אל הדלתא של דירק, אנחנו נציג גישה אחת שרלוונטית אלינו.
*הדלתא של דירק '''אינה פונקציה''', אלא מייצגת תהליך.
*למרות האמור, אנחנו נתייחס לתוצאה הסופית של התהליך, כאילו היה מדובר בפונקציה ממש.


*מטרה עיקרית: 'פונקצית הדלתא' מקיימת את התכונה <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=f(0)</math> לכל פונקציה <math>f(x)</math> הרציפה ב<math>0</math>.
*כמו כן, <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=\{t=x-a\}=\int_{-\infty}^\infty f(t+a)\delta(t)dt=f(a)</math> לכל פונקציה הרציפה בa.


*בצורה מדוייקת יותר, נביט בסדרת הפונקציות <math>\delta_n(x)=\begin{cases}n & 0\leq x \leq \frac{1}{n}\\ 0 & x< 0 \vee x>\frac{1}{n}\end{cases}</math>
*כאשר <math>n\to\infty</math> לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים כי <math>\delta_n(x)\to 0</math> ועבור <math>x=0</math> מקבלים כי <math>\delta_n(x)\to \infty</math>.
*לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>\int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1</math>.
*עקרונית הסדרה מייצגת פונקציות בעלות שטח אחד, ההולך ומתרכז בנקודה אפס.
*עבור <math>f(x)</math> הרציפה בסביבה של <math>0</math> מתקיים כי: 
**<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)dx=\int_0^{\frac{1}{n}}nf(x)dx</math>
**לפי משפט ערך הממוצע האינטגרלי <math>\int_0^{\frac{1}{n}}nf(x)dx=nf(c_n)\cdot \frac{1}{n}=f(c_n)\to f(0)</math>


*נגדיר את <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=\lim_{n\to \infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)dx</math>
*נשים לב כי לפי גישה זו <math>\int_{-\infty}^0f(x)\delta(x)dx=0</math> ו<math>\int_0^\infty f(x)\delta(x)dx =f(0)</math>.


*נחשב את התמרת הלפלס של הדלתא של דירק:
*לכל <math>a\geq 0</math> מתקיים <math>\mathcal{L}(\delta(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}\delta(t-a)dt=e^{-sa}</math>
*בפרט <math>\mathcal{L}(\delta(t))=1</math>

===תגובת הלם===

*נביט במערכת של מסה המחוברת לקפיץ, המתחילה במנוחה.
*נניח שברגע <math>t=a</math> מישהו נתן 'פליק' למסה.
*הדרך שלנו לבטא כוח נקודתי שכזה היא הדלתא של דירק, המכונה גם 'פונקצית הלם'.
*כלומר הכוח החיצוני על המערכת הוא <math>\delta(t-a)</math>, בנוסף לכוח המופעל על ידי הקפיץ.
*למעשה אנו מעוניינים בפתרון למד"ר <math>y''+ky=\delta(t-a)</math>
*באופן דומה להגדרת האינטגרל, ניתן לחשוב על הפתרון כגבול הפתרונות למערכות המקורבות <math>y''+ky=\delta_n(t-a)</math>.
*על מנת שיהיה פתרון למד"ר עלינו לבחור הפעם סדרה של פונקציות גזירות ב<math>[0,\infty)</math> כמו <math>\delta_n(x)=\begin{cases}ne^{-nx} & x\geq 0 \\ 0 & x<0\end{cases}</math>


*נוכיח כעת את הנוסחא <math>e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))=\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))</math> עבור <math>a>0</math>:
**<math>\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}u(t-a)y(t-a)dt = \int_a^\infty e^{-st}y(t-a)dt=</math>
**נבצע את ההצבה <math>x=t-a</math> ונקבל:
**<math>=\int_0^\infty e^{-s(x+a)}y(x)dx =e^{-sa}\int_0^\infty e^{-sx}y(x)dx=e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))</math>.


*נפתור את המערכת עם התמרת לפלס:
**<math>\mathcal{L}(y''+ky)=s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+kF(s)=e^{-sa}</math>.
**כיוון שהמערכת התחילה במנוחה, <math>y(0)=y'(0)=0</math>.
**לכן <math>F(s)=\frac{e^{-sa}}{s^2+k}</math>.
**ולכן <math>y=u(t-a)\frac{sin(\sqrt{k}(t-a))}{\sqrt{k}}</math>.
**(הרי <math>\mathcal{L}(sin(\sqrt{k}t))=\frac{\sqrt{k}}{s^2+k}</math>).


*אכן, עד רגע <math>t=a</math> המערכת במנוחה <math>y=0</math>.
*לאחר מכן, אנו מקבלים את הפתרון המקיים <math>y(a)=0,y'(a)=1</math>.
*כלומר ה'הלם' תפקד במקרה זה כמו תנאי התחלה על המהירות - זה בדיוק ה'פליק' שהכנו במסה.


*נפתור את המערכת <math>y''+ky=\delta(x-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(0)=0,y'(0)=-1</math>.
**נפעיל התמרת לפלס <math>s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+kF(s)=e^{-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}s}</math>
**לכן <math>F(s)=\frac{e^{-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}s}-1}{s^2+k}</math>
**לכן <math>y(t)=\frac{1}{\sqrt{k}}\left(u(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})sin(\sqrt{k}(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}))-sin(\sqrt{k}t)\right)</math>
**לכן <math>y(t)=\frac{u(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})-1}{\sqrt{k}}sin(\sqrt{k}t)</math>
**כלומר בזמן <math>t=\frac{2\pi}{\sqrt{k}}</math> ההלם עוצר את התנועה במערכת, והפתרון מתאפס.


*דוגמא - נפתור את המד"ר <math>y'''-y=\delta(t-1)</math> עבור תנאי ההתחלה <math>y(0)=y'(0)=y''(0)=0</math>.
**נבצע התמרת לפלס ונקבל כי <math>s^3F(s)-F(s)=e^{-s}</math>.
**לכן <math>F(s)=\frac{e^{-s}}{s^3-1}=e^{-s}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)</math>
**ראשית נמצא את ההתמרה ההפוכה <math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)</math>:
***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}\right)=e^t</math>
***<math>\frac{s+2}{s^2+s+1}=\frac{s+2}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\frac{s+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}</math>
***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s+\frac{1}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right)=e^{-\frac{t}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)</math>
***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{3}{2}\frac{1}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right)
=\mathcal{L}^{-1}\left(
\sqrt{3}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}
{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}
\right)
=\sqrt{3}e^{-\frac{t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)
</math>
***לכן <math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)=e^t-e^{-\frac{t}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)-\sqrt{3}e^{-\frac{t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)</math>
**ולכן סה"כ הפתרון למד"ר הינו <math>
y=\frac{u(t-1)}{3}\left[
e^{t-1}-e^{-\frac{t-1}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)\right)-
\sqrt{3}e^{-\frac{t-1}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)\right)
\right]</math>


==הרצאה 13 - משוואת אוילר==

*משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה:
**<math>a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math>

*נסמן את פונקצית האקפוננט <math>\exp(t)=e^t</math>
*נפתור את המד"ר ל<math>x>0</math>
*נגדיר <math>u=y\circ \exp</math> כלומר <math>u(t)=y(e^t)</math>.
*נקבל כי 
**<math>u'(t)=e^ty'(e^t)</math>
**<math>u''(t)=e^{2t}y''(e^t)+e^ty'(e^t) = e^{2t}y''(e^t)+u'(t)</math>
**<math>u'''(t)=e^{3t}y'''(e^t) + 2e^{2t}y''(e^t)+u''(t)  = e^{3t}y'''(e^t)+2(u''(t)-u'(t))+u''(t)</math>
**באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>u^{(m)}(t)=e^{mt}y^{(m)}(e^t)+\sum_{k=1}^{m-1} b_ku^{(k)}(t)</math> עבור קבועים כלשהם.


*נסמן את האופרטור המתאים למד"ר:
**<math>H=a_n x^n D^n +...+a_0 I</math>
**לכן <math>Hy\circ\exp (t)=a_n e^{nt}y^{(n)}(e^t)+...+a_0y(e^t)</math>
**לפי הפיתוח לעיל, זה שווה ל<math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> עבור קבועים כלשהם.
*נסמן את האופרטור המתאים למד"ר זו ב<math>K=c_nD^n+...+c_0I</math>
**סה"כ הוכחנו כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)</math>


*את הגרעין של <math>K</math> אנחנו יודעים למצוא כיוון שזו מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים.
*אם <math>u</math> פתרון למד"ר המתאים ל<math>K</math> אז עבור <math>y=u\circ \ln</math> מתקיים כי <math>K(y\circ\exp)=0</math>
*לכן <math>Hy\circ \exp =0</math> ולכן <math>Hy=0</math> בחיוביים, שהרי זו התמונה של <math>\exp</math>.


*אבל איך נמצא את הפתרונות ל<math>Ku=0</math>? צריך למצוא את הפולינום האופייני.
*עבור <math>y=x^r</math> נקבל כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)=K(e^{rt})=c_nr^n e^{rt}+...+c_0 e^{rt}</math>
*אם נחלק ב<math>e^{rt}</math> נקבל את הפולינום האופייני של המד"ר <math>Ku=0</math>, זו נקראת '''המשוואה האינדנציאלית''' של משוואת האוילר המקורית.
*במילים פשוטות, על מנת לחשב את המשוואה האינדנציאלית:
**נציב <math>x^r</math> במשוואת האוילר
**נציב <math>x=e^t</math> ונחלק ב<math>e^{rt}</math> (או בעצם נחלק מראש ב<math>x^r</math> שזה שקול)


*השורשים של המשוואה האינדנציאלית נותנים לנו את הפתרונות לגרעין של <math>K</math>, נרכיב אותם על <math>ln(x)</math> ונקבל את הפתרונות למשוואת האוילר.


*סה"כ אם r שורש ממשי מריבוי k של המשוואה האינדנציאלית אזי:
**<math>u(t)=t^me^{rt}</math> פתרון של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.
**ולכן <math>y(x)=u(ln(x))=ln^m(x)x^r</math> פתרון של משוואת אוילר המקורית, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.
*אם <math>r=a\pm bi</math> זוג שורשים מרוכבים צמודים מריבוי k כל אחד אזי:
**<math>u(t)=t^me^{at}cos(bt),t^me^{at}sin(bt)</math> פתרונות של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math>, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.
**לכן <math>y(x)=ln^m(x)x^acos(bln(x)),ln^m(x)x^asin(bln(x))</math> פתרונות של משוואת אוילר המקורית, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>.


*דוגמא:
**<math>x^3y'''-x^2y''+2xy'-2y=0</math>
**נציב <math>y=x^r</math> ונקבל את המשוואה האינדנציאלית <math>r(r-1)(r-2)-r(r-1)+2r-2=0</math>.
**לכן <math>r(r-1)(r-2)-(r-2)(r-1)=0</math>.
**כלומר <math>(r-2)(r-1)(r-1)=0</math>.
**לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1x^2+c_2x+x_3xln(x)</math>


*דוגמא:
**<math>xy''+y'+\frac{y}{x}=0</math>
**נעביר לצורה של משוואת אוילר <math>x^2y''+xy'+y=0</math>.
**המשוואה האינדנציאלית היא <math>r(r-1)+r+1=0</math>.
**כלומר <math>r^2+1=0</math>.
**לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1sin(ln(x))+c_2cos(ln(x))</math>


*דוגמא:
**מצאו פתרון כלשהו למד"ר <math>x^2y''-2xy'+2y=x^3e^x</math>
**ראשית נמצא את הפתרונות למד"ר ההומוגנית, שהיא משוואת אוילר.
**לאחר מכן נמצא פתרון פרטי באמצעות וריאצית המקדמים.