הצגת המקור של הדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5/פתרון 5"

מצא את נגזרות הפונקציות הבאות:

*<math>x^2+cos(x)</math>

לפי נגזרות של פונקציות אלמנטריות: <math>f'(x)=2x-sin(x)</math>


*<math>e^{cos(x)}</math>

<math>f'(x)=e^{cos(x)}\cdot\Big(cos(x)\Big)'=-e^{cos(x)}sin(x)</math>


*<math>(x^2+1)^2</math>

<math>f'(x)=2(x^2+1)\cdot(2x)=4x^3+4x</math>


*<math>(x^2+1)^{10}</math>

<math>f'(x)=10(x^2+1)^9\cdot(2x)=20x(x^2+1)^9</math>


*<math>\Big(sin(x)+cos(x)\Big)^{11}</math>

<math>f'(x)=11\Big(sin(x)+cos(x)\Big)^{10}\cdot\Big(cos(x)-sin(x)\Big)</math>


*<math>arctan\Big(\frac{sin(e^x)\cdot ln(cos(x))}{e^x\cdot x^e}\Big)</math>

לאט ובזהירות: פיתרון [http://bit.ly/R2b0F8 כאן]


*<math>|x|</math> (זכרו כי באפס הפונקציה אינה גזירה, וחלקו למקרים)

לכל x>0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה <math>f(x)=x</math>. לכן <math>f'(x)=1</math>

לכל x<0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה <math>f(x)=-x</math>. לכן <math>f'(x)=-1</math>

סה"כ: <math>f'(x)=\begin{cases}1 & x>0 \\ -1 & x<0\end{cases}</math> (והנגזרת לא מוגדרת בx=0)


*<math>ln(ln\Big(e^{e^x}\Big))</math>

<math>e^x</math> ו<math>ln(x)</math> הן פונקציות הופכיות. לכן: <math>ln(e^{f(x)})=f(x)</math>.

לכן: <math>ln(ln\Big(e^{e^x}\Big))=ln(e^x)=x</math>. לכן הנגזרת היא 1.


*<math>x^x</math> (רמז: הוכיחו קודם כי <math>f^g=e^{g\cdot ln(f)}</math>)

<math>f^g=(e^{ln(f)})^g=e^{g\cdot ln(f)}</math>. לכן:

<math>x^x=e^{x\cdot ln(x)}</math>. לכן הנגזרת היא:

<math>f'(x)=e^{x\cdot ln(x)} \cdot (x\cdot ln(x))'=e^{x\cdot ln(x)} \cdot(ln(x)+1)=x^x\cdot \Big(ln(x)+1\Big)</math>