הצגת המקור של הדף "מערך תרגול 6"

= דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות =

== מרכז של חבורה ==

=== הגדרה ===
לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. 
דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G: gh=hg \}</math>.

=== משפט ===
<math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>.

== תרגיל ==
הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית.

=== פתרון ===

<math>\Leftarrow</math> ברור.

<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>. 
קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\cup_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)</math>. יהיו <math>g,h\in G</math>. אזי קיימים <math>k,m</math> כך ש <math>g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)</math>. כלומר, <math>g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)</math>.

אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>.