הצגת המקור של הדף "פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 4"

=תרגיל 4=
*שימו לב - זה לא פתרון רשמי של ארז, אלא הפתרון שלי לתרגיל. --[[משתמש:Ohad Abarbanel|Ohad Abarbanel]] 11:48, 8 בדצמבר 2009 (UTC)
==שאלה 1==
הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית:

<math>A=\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2  \\
\end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2  \\
\end{matrix} \right]</math>

<math>\begin{align}
  & P_{A}(t)=(t-2)^{7}=P_{B}(t) \\ 
 & m_{A}(t)=(t-2)^{3}=m_{B}(t) \\ 
\end{align}</math>

הריבוי הגיאומטרי של 2 בשתי המטריצות הוא 3.
המטריצות לא דומות כיוון שצורת הז'ורדן שלהן (הן עצמן) שונות.

==שאלה 2==
===סעיף א'===


<math>\begin{align}
  & 1)\left[ \begin{matrix}
   2 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 5 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 5  \\
\end{matrix} \right]\quad 2)\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 5 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 5  \\
\end{matrix} \right]\quad 3)\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 5 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 5  \\
\end{matrix} \right] \\ 
 & 4)\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 5 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 5  \\
\end{matrix} \right]\quad 5)\left[ \begin{matrix}
   2 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 5 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 5  \\
\end{matrix} \right]\quad 6)\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 2 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 5 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0 & 5  \\
\end{matrix} \right] \\ 
\end{align}</math>

===סעיף ב'===

<math>\begin{align}
  & 1)\ m_{A}(t)=(t-2)(t-5) \\ 
 & 2)\ m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-5) \\ 
 & 3)\ m_{A}(t)=(t-2)^{3}(t-5) \\ 
 & 4)\ m_{A}(t)=(t-2)^{3}(t-5)^{2} \\ 
 & 5)\ m_{A}(t)=(t-2)(t-5)^{2} \\ 
 & 6)\ m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-5)^{2} \\ 
\end{align}</math>

===סעיף ג'===

<math>\begin{align}
  & 1)\ m_{2}=3,\ m_{5}=2 \\ 
 & 2)\ m_{2}=2,\ m_{5}=2 \\ 
 & 3)\ m_{2}=1,\ m_{5}=2 \\ 
 & 4)\ m_{2}=1,\ m_{5}=1 \\ 
 & 5)\ m_{2}=3,\ m_{5}=1 \\ 
 & 6)\ m_{2}=2,\ m_{5}=1 \\ 
\end{align}</math>


==שאלה 3==
===סעיף א'===

A משולשית, לכן אברי האלכסון הם הע"ע של A כולל הריבוי האלגברי, לכן 
<math>P_{A}(t)=t^{2}(t-1)^{2}</math>.

נמצא את הפולינום המינימלי:

נבדוק את 
<math>A(A-I)</math>:

<math>\left[ \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 & 4  \\
   0 & 0 & 2 & 3  \\
   0 & 0 & 1 & 2  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   0 & 2 & 3 & 4  \\
   0 & -1 & 2 & 3  \\
   0 & 0 & 0 & 2  \\
   0 & 0 & 0 & -1  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   0 & 0 & 7 & 12  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>

נבדוק את 
<math>A(A-I)^{2}</math>:

<math>\left[ \begin{matrix}
   0 & 0 & 7 & 12  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   0 & 2 & 3 & 4  \\
   0 & -1 & 2 & 3  \\
   0 & 0 & 0 & 2  \\
   0 & 0 & 0 & -1  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   0 & 0 & 0 & 2  \\
   0 & 0 & 0 & -1  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>

האפשרות היחידה שנותרה היא 
<math>A^{2}(A-I)^{2}</math>
לכן הפולינום המינימלי הוא 
<math>m_{A}(t)=t^{2}(t-1)^{2}</math>, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:

<math>\left[ \begin{matrix}
   1 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]</math>

===סעיף ב'===

<math>I-A=\left[ \begin{matrix}
   0 & -2 & -3 & -4  \\
   0 & 1 & -2 & -3  \\
   0 & 0 & 0 & -2  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right]</math>

נניח שהפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה הקטנה מ-4, כלומר קיים 
<math>f(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d</math>
כך ש
<math>f(I-A)=0</math>, כלומר:

<math>a(I-A)^{3}+b(I-A)^{2}+c(I-A)+dI=0</math>

אם נפתח סוגריים נקבל פולינום ממעלה הקטנה מ-4 המאפס את A, וזוהי סתירה למינימליות של הפולינום המינימלי שמצאנו ב-א', לכן הפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה 4, והאפשרות היחידה היא
<math>m_{I-A}(t)=t^{2}(t-1)^{2}</math>, לכן מטריצת הז'ורדן של I-A היא:

<math>\left[ \begin{matrix}
   1 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]</math>

צורות הז'ורדן של A ושל I-A שוות לכן 
<math>A\sim I-A</math>.

==שאלה 4==

נמצא את 
<math>P_{A}(t)</math>:

<math>\begin{align}
  & P_{A}(t)=\left| tI-A \right|=\left| \begin{matrix}
   t-7 & 2 & 6  \\
   -6 & t+1 & 6  \\
   -3 & 1 & t+2  \\
\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}
   t-7 & 2 & 6  \\
   1-t & t-1 & 0  \\
   -3 & 1 & t+2  \\
\end{matrix} \right|=-(1-t)(2t+4-6)+(t-1)((t-7)(t+2)+18)= \\ 
 & =(t-1)(2t-2)+(t-1)(t^{2}-5t+4)=(t-1)(t^{2}-3t+2)=(t-1)(t-1)(t-2)=(t-1)^{2}(t-2) \\ 
\end{align}</math>


נמצא את 
<math>m_{A}(t)</math>:

נבדוק את 
<math>(A-I)(A-2I)</math>:

<math>(A-I)(A-2I)=\left[ \begin{matrix}
   6 & -2 & -6  \\
   6 & -2 & -6  \\
   3 & -1 & -3  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   5 & -2 & -6  \\
   6 & -3 & -6  \\
   3 & -1 & -4  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]</math>

לכן הפולינום המינימלי הוא 
<math>m_{A}(t)=(t-1)(t-2)</math>.


נבדוק האם 
<math>m_{B}(t)=m_{A}(t)=(t-1)(t-2)</math>:

<math>(B-I)(B-2I)=\left[ \begin{matrix}
   -3 & -3 & 2  \\
   -1 & 1 & 0  \\
   -6 & -3 & 3  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   -4 & -3 & 2  \\
   -1 & 0 & 0  \\
   -6 & -3 & 2  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   3 & 3 & -2  \\
   3 & 3 & -2  \\
   9 & 9 & -6  \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>

מצאנו ש
<math>m_{A}(t)\ne m_{B}(t)</math>
לכן בהכרח A לא דומה ל-B.

==שאלה 5==
===חלק ראשון - שאלה 1===
====סעיף א'====

לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה n יש n שורשים מרוכבים, לכן 
<math>P_{A}(t)</math>
מתפרק לגורמים לינאריים מעל 
<math>\mathbb{C}</math>.
לפי משפט השילוש קיימת מטריצה B משולשת כך ש
<math>A\sim B</math>, כלומר קיימת מטריצה P הפיכה כך ש
<math>A=P^{-1}BP</math>, לכן מתקיים:

<math>\left| A \right|=\left| P^{-1}BP \right|=\left| P^{-1} \right|\left| B \right|\left| P \right|=\left| P \right|^{-1}\left| P \right|\left| B \right|=\left| B \right|</math>

על אלכסון המטריצה B נמצאים הערכים העצמיים של A, ו-B משולשית לכן 
<math>\left| B \right|</math>
שווה למכפלת אברי האלכסון שהיא מכפלת הערכים העצמיים של A.

<math>\left| A \right|=\left| B \right|</math>
לכן 
<math>\left| A \right|</math>
היא מכפלת הערכים העצמיים של A.

====סעיף ב'====

נניח בשלילה שקיימת 
<math>A\in \mathbb{R}^{3\times 3}</math>
כך ש
<math>A^{2}=-I_{3}</math>.

ל-A יש 3 ערכים עצמיים (לא בהכרח שונים). נסמנם 
<math>\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb{R}</math>.

<math>A\in \mathbb{C}^{3\times 3}\Leftarrow \mathbb{R}^{3\times 3}\subset \mathbb{C}^{3\times 3}\Leftarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C}</math>
לכן לפי א' 
<math>\left| A \right|=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \lambda _{3}</math>.

לפי ההנחה, 
<math>A^{2}=-I_{3}</math>, לכן:

<math>\left| A^{2} \right|=\left| -I_{3} \right|\Rightarrow \left| A \right|^{2}=(-1)^{3}\left| I_{3} \right|\Rightarrow \lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}=-1</math>

מכיוון ש
<math>\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb{R}</math>,
מתקיים 
<math>\lambda _{1}^{2},\lambda _{2}^{2},\lambda _{3}^{2}\ge 0</math>
לכן גם 
<math>\lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}\ge 0</math>
וזו סתירה לכך ש 
<math>\lambda _{1}^{2}\cdot \lambda _{2}^{2}\cdot \lambda _{3}^{2}=-1</math>,
לכן לא קיימת 
<math>A\in \mathbb{R}^{3\times 3}</math>
כך ש
<math>A^{2}=-I_{3}</math>.

===חלק שני - שאלה 5===
====סעיף א'====
'''ריבוי אלגברי''' של ע"ע
<math>\lambda </math> הוא המספר הגדול ביותר 
<math>k_{\lambda }</math> כך ש
<math>P_{A}(t)=(t-\lambda )^{k_{\lambda }}g(t)</math>.

או במילים פשוטות: '''הריבוי האלגברי''' של <math>\lambda</math> הוא '''החזקה של <math>t-\lambda</math>''' בפולינום האופייני.


'''ריבוי גיאומטרי''' של ע"ע <math>\lambda </math> הוא 
<math>\dim(v_{\lambda })</math> כאשר 
<math>v_{\lambda }=\left\{ v\in V|Av=\lambda v \right\}</math>.

או במילים פשוטות: '''הריבוי הגיאומטרי''' של<math>\lambda</math> הוא '''מימד המרחב העצמי''' של <math>\lambda</math>

====סעיף ב'====
נמצא את 
<math>P_{A}(t)</math>:
<math>P_{A}(t)=\left| tI-A \right|=\left| \begin{matrix}
   t-2 & -2 & 1  \\
   0 & t+1 & -2  \\
   0 & 6 & t-6  \\
\end{matrix} \right|=(t-2)((t+1)(t-6)+12)=(t-2)(t^{2}-5t+6)=(t-2)(t-2)(t-3)=(t-2)^{2}(t-3)</math>

נמצא את הפולינום המינימלי:

נבדוק את 
<math>(A-2I)(A-3I)</math>:

<math>(A-2I)(A-3I)=\left[ \begin{matrix}
   0 & 2 & -1  \\
   0 & -3 & 2  \\
   0 & -6 & 4  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   - & 2 & -1  \\
   0 & -4 & 2  \\
   0 & -6 & 3  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   0 & -2 & 1  \\
   0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right]\ne 0</math>

האפשרות היחידה שנותרה לפולינום המינימלי היא 
<math>m_{A}(t)=(t-2)^{2}(t-3)</math>.

לפי משפט בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 2 במטריצת הז'ורדן של A הוא בגודל 2 ובלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 3 הוא 1, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:

<math>\left[ \begin{matrix}
   2 & 1 & 0  \\
   0 & 2 & 0  \\
   0 & 0 & 3  \\
\end{matrix} \right]</math>