הצגת המקור של הדף "קוד:אלגוריתם לז'רדון"

\section{סיכום - ז'רדון}

ניזכר במשפט ז'ורדן:

\begin{thm}[משפט ז'ורדן הכללי]
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי כך ש-$p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי $T$ ניתן להצגה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה $J_{m_i}\left(\lambda_i\right)$. הצגה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.
\end{thm}

עבור מטריצות הוא מנוסח באופן דומה:

\begin{thm}[משפט ז'ורדן הכללי למטריצות]
כל מטריצה $A$ כך ש-$p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים דומה למטריצת ז'ורדן, וצורת הז'ורדן של $A$ יחידה עד כדי סדר הבלוקים.
\end{thm}

\subsection{האלגוריתם לז'רדון}

לעיתים נרצה למצוא את המטריצה המז'רדנת $P$. אם עובדים עם אופרטורים, בוחרים בסיס (לרוב הסטנדרטי) של המרחב ועוברים לעבוד עם המטריצה המייצגת.

\begin{remark}

נניח כי נתונה מטריצה $A$, כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.

\begin{enumerate}

\item נמצא את הפולינום המינימלי של $A$.

\item עבור כל ערך עצמי $\lambda$ נמצא בסיס למרחב העצמי המוכלל $K_\lambda$ באופן הבא:

\begin{enumerate}

\item נסמן ב-$k$ את החזקה של $(x-\lambda)$ בפולינום המינימלי.

\item נמצא בסיס ל-$V_\lambda\cap C((\lambda I-A)^{k-1})$ באופן הבא:

\begin{enumerate}

\item נביט במטריצה $(\lambda I-A)^{k-1}$, ונבחר עמודות $C_{i_1},\dots,C_{i_p}$ המהוות בסיס למרחב העמודות שלה.

\item נפתור את מערכת המשוואות $x_1(\lambda I-A)C_{i_1}+\cdots+x_p(\lambda I-A)C_{i_p}=0$.

\item לכל וקטור $x=(x_1,\dots,x_p)$ בבסיס למרחב הפתרונות נסמן $u_x=x_1e_{i_1}+\cdots+x_pe_{i_p}$.

\item לכל וקטור $x$ בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף לבסיס המז'רדן את העמודות של המסלול (משמאל לימין):

$$(\lambda I-A)^{k-1}u_x,\dots,(\lambda I-A)u_x,u_x$$

\end{enumerate}

\item באופן דומה נמשיך ונמצא בסיס ל-$V_\lambda\cap C((\lambda I-A)^{k-2}$, ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.

\item ממשיכים כך, עד שמספר הווקטורים שבבסיס הוא הריבוי האלגברי של $\lambda$.

\end{enumerate}

\item נאחד את כל הבסיסים המז'רדנים למרחבים העצמיים המוכללים, ונסמן את הבסיס שקיבלנו $B$. זהו הבסיס המז'רדן.

\item נשים את איברי $B$ בעמודות מטריצה $P$, וזו המטריצה המז'רדנת; המטריצה $J=P^{-1}AP$ היא צורת הז'ורדן של $A$.

\end{enumerate}

\end{remark}

\subsection{האלגוריתם למציאת צורת ז'ורדן}

מציאת המטריצה המז'רדנת $P$ עשויה להיות בעיה קשה ומסורבלת (כמו שראינו). לעיתים לא נתעניין במטריצה המז'רדנת עצמה, ותספיק לנו צורת הז'ורדן של המטריצה או של האופרטור. כעת נציג את הכללים לקביעת צורת הז'ורדן.

\begin{remark}
נניח כי נתון אופרטור (או מטריצה) עם פולינום אופייני $p(x)$ (המתפרק למכפלה של גורמים לינאריים) ועם פולינום מינימלי $m(x)$. אזי לכל ערך עצמי $\lambda$,

\begin{enumerate}

\item סכום סדרי הבלוקים המתאימים לערך העצמי $\lambda$ הוא הריבוי האלגברי של $\lambda$.

\item מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי $\lambda$ הוא הריבוי הגיאומטרי של $\lambda$.

\item סדר הבלוק המקסימלי המתאים לערך העצמי $\lambda$ הוא החזקה של $(x-\lambda)$ בפולינום המינימלי.

\end{enumerate}

\end{remark}