הצגת המקור של הדף "קוד:דוגמאות לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"

נציג כעת מספר דוגמאות למציאת ערכים עצמיים.

\begin{example}[מטריצת היחידה]

ניקח $A=I_n$, ונחפש את $\operatorname{spec}\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:

\begin{description}

\item[שיטה ראשונה - חישוב ישיר]

נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר 
$\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.

\item[שיטה שנייה - לפי המשפט]

נשים לב כי
$$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix}
\lambda-1 &  &0 \\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \lambda-1
\end{matrix} \right )$$
לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$ 
אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.

לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.

\end{description}

\end{example}

\begin{example}[מטריצה אלכסונית כללית]

נסמן
$$A=D=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1 &  &0 \\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \alpha_n
\end{matrix} \right )$$
נרצה לדעת מהו $\operatorname{spec}\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: 
$$\lambda I-D=\left ( \begin{matrix}
\lambda-\alpha_1 &  &0 \\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \lambda-\alpha_n
\end{matrix} \right )$$
הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$.

קיבלנו ש-$\operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.

אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה.

\end{example}

\begin{example}[מטריצה משולשת עליונה]

ניקח
$$A=T=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1 &  & \star\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \alpha_n
\end{matrix} \right )$$
מטריצה משולשת עליונה.

על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים
$\operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.

\end{example}

\begin{example}

ניקח מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ את המטריצה
$$A=\left ( \begin{matrix}
0 &1 \\ 
-1 &0 
\end{matrix} \right )$$
אזי
$$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix}
\lambda & -1\\ 
1 & \lambda
\end{matrix} \right )$$
לפי חישוב, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0$, אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-$\mathbb{R}$.

אם כן, $\operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset$.

\end{example}