הצגת המקור של הדף "קוד:ערך מוחלט ואי שיוויונים"

\begin{definition}
באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\
ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:
$$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$
\end{definition}

\begin{remark}[תכונות בסיסיות של ערך מוחלט]
$\\$
\begin{enumerate}
\item $\forall x : |x|=|-x|$
\item $\forall x : |x|\geq 0 $
\item $x=0 \Leftrightarrow |x|=0$
\item $\forall x,y: |x\cdot y| = |x|\cdot |y|$
\item $\forall x: x\leq |x|$
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
המרחק בין $x$ ל-$y$ הוא $|x-y|$. נשים לב שזה כמובן כמו המרחק בין $y$ ל-$x$, שלפי ההגדרה הזו הוא $|y-x| $.
\end{remark}

\begin{thm}[אי שיוויון המשולש]
$$\forall x,y: |x+y|\leq |x|+|y| , ||x|-|y||\leq |x-y|$$
\end{thm}

\begin{remark}[תכונות בסיסיות של אי שיוויונים]
$\\$
\begin{enumerate}
\item $ x\leq y \Leftrightarrow -x\geq -y $
\item נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $ x^2\leq y^2 $
\item נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$
\end{enumerate}

\end{remark}

\begin{remark}[ערך מוחלט ואי שיוויונים]
נניח $L\geq 0$ אזי 

\begin{enumerate}
\item $|x|\leq L \Leftrightarrow -L<x<L$
\item $|x|\geq L \Leftrightarrow x\geq L \text{ or } x\leq -L $
\end{enumerate}
\end{remark}