הצגת המקור של הדף "שורש של מטריצה הפיכה"

נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה <math>A</math>  ו-<math>J_{A}A</math>  יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ערך עצמי 0  ואיברי האלכסון יהיו שונים מ 0 . מספיק להראות שלכל בלוק יש שורש כי נניח <math>J_{A}A=\bigoplus J_{m}\left(\lambda\right)</math>  )סיגמא ישרה( רץ על כל <math>m,\lambda</math>  כך ש <math>J_{m}\left(\lambda\right)</math>  בצורת ג'ורדן של A  אז <math>sqrt{J_{A}A}=\bigoplus\sqrt{J_{m}\left(\lambda\right)>}</math>  כי כל בלוק מוכפל בנפרד נראה שלבלוק גורדן לא של 0 יש שורש נבדוק את המשפט עבור מטריצה<math> 2\times2  \left(\begin{array}{cc}
\lambda & 1\\
0 & \lambda
\end{array}\right)  השורש שלה הוא \left(\begin{array}{cc}
\sqrt{\lambda} & \frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\\
0 & \sqrt{\lambda}
\end{array}\right)</math> 

נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n  ונניח שלכל i  רכיבי האלכסון הi  כלומר הרכיבים מהצורה <math>a_{j(j+i)}</math>  שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1 

נבדוק עבור n+1  

יהי <math>B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)}</math>  נקח מטריצה A  כך שהמינורים <math>M_{11}=M_{nn}=B</math>  יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B  כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור <math>a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0> נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda)</math>  אם נקח עבור i,j>1  <math>R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases}
1 & i-1+1=j-1\\
\lambda & i-1=j-1\\
0 & \text{else}
\end{cases} 
</math>
בגלל שהנחנו ש b  משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n  זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math>  הוא 0  <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0 

</math><math>a_{n+1,1}=0</math>  על פי סגירות לכפל של משולשיות

ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math>  נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math>  ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש