הצגת המקור של הדף "תרגול 14 תשעח"

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

=עוצמות=

'''הגדרה.''' יהיו <math>A,B</math> שתי קבוצות. אזי:
*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע ועל אז אומרים של-<math>A</math> ול-<math>B</math> '''יש אותה עוצמה'''. סימון <math>|A|=|B|</math>.
*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע אז אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה או שווה לזו של <math>B</math>. סימון <math>|A|\leq|B|</math>.
* אם <math>|A|\leq|B|</math> וגם <math>|A|\not=|B|</math> אזי אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה ממש מהעוצמה של <math>B</math>. סימון <math>|A|<|B|</math>.

הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת <math>f:A\to B </math> על אזי <math>|B|\leq |A|</math>.

=== תרגיל ===
הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}|</math>.

==== פתרון ====
נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\varnothing\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\varnothing \mapsto \{1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה.

הפיכה כי יש לה הופכית: <math>f^{-1}:P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}\to P(\mathbb{N})</math> ע"י <math>\{1\}\mapsto \varnothing,\{n\geq 2\}\mapsto \{n-1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון נשלחת לעצמה.

===תרגיל ===
הוכיחו כי <math>|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|</math>.

פתרון: הפונקציה  <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה.

חח"ע: נניח <math>F(f)=F(g)</math> לכן <math>(f(1),f(2))=(g(1),g(2))</math>, ולכן <math>f(1)=g(1)\land f(2)=g(2)</math> וזו אותה פונקציה.

על: יהי <math>(a,b)\in A\times A</math>, הפונקציה שמוגדרת ע"י <math>1\mapsto a,2\mapsto b</math> היא מקור.

===משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)===

אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>.

בהמשך נקצר לק.ש.ב.

===תרגיל===
הוכיחו: <math>|\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0</math>.

====פתרון====
לפי ק.ש.ב. כי הקבוצה מוכלת ברציונליים ומכילה <math>\aleph_0</math> שברים מהצורה <math>\frac{1}{n}</math>.

===תרגיל=== 

הוכיחו כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ממשיים.

====פתרון====

נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>.

ראשית נגדיר <math>f:(0,1)\rightarrow (a,b)</math> ע"י <math>f(x)=a+(b-a)x</math> חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.

טענה: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל-<math>\mathbb{R}</math>.

הוכחת הטענה: הפונקציה <math>\tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math> הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.

===תרגיל ===
תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>|A|\leq |P(A)|</math>.

פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> והיא חח"ע.

תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>|A|\neq |P(A)|</math>.

פתרון: נניח בשלילה כי <math>|A|= |P(A)|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של <math>A</math> ולכן, מכיוון ש-<math>f</math> על, קיים <math>x\in A</math> כך ש-<math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת <math>X</math> נקבל כי <math>x\notin f(x)=X</math>, סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת <math>X</math> מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. מש"ל.