הצגת המקור של הדף "תשסד,סמסטר ב, מועד ב, שאלה 11"

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 
1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 
0 & 1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הז'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

'''פתרון:'''
דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני


<math>P_A(x) = | xI-A | = \begin{vmatrix}
x & 0 & ... & 0 & -1\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix}
</math>


נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה:


<math>x\begin{vmatrix}
x & 0 & ... & 0 & 0\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix} + (-1)^{3} \cdot (-1) \begin{vmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & -1\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix}</math>

כאשר שתי הדטרמיננטות הנ"ל הן של מטריצות מגודל <math>(n-1) \times (n-1)</math> ... הדטר' הראשונה היא של מטר' משולשית ושווה בדיוק <math>x^{n-1}</math> לדטר' השנייה נעשה פיתוח לפי השורה הראשונה:

<math>\begin{vmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & -1\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix} = (-1)^{(n-1)+1} \cdot (-1) \begin{vmatrix}
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x \\
0 & 0 & ... & 0 & -1
\end{vmatrix}</math>

ולמזלנו קיבלנו מטר' משולשית שבאלכסונה 1-, ולכן (מכיוון שהגודל שלה הוא n-2) הדטר' שלה הוא: <math>(-1)^{n-2}</math> עכשיו נציב את כל מה שחישבנו בחישוב של הדטר' המקורית:

<math>| xI-A | = x \cdot x^{n-1} + (-1)^{4} \cdot (-1)^{n} \cdot (-1) \cdot (-1)^{n-2} = x^{n} + (-1)^{2n + 3} = x^{n} - 1</math>

וקיבלנו שהפולינום האופייני של A הוא <math>P_A(x) = x^{n}-1</math> לפולינום זה אנחנו יודעים שיש n שורשים מרוכבים(ז"א n ע"ע של A), ומכיוון ש <math>deg P_A = n</math> הריבוי האלגברי של כל אחד מהע"ע הללו [שורשי היחידה] הוא 1, ומכיוון שכל הגורמים הלינאריים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי עם דרגה שקטנה מהדרגה בפולינום האופייני, הפולינום המינימלי של A זהה לפולינום האופייני שלה. כמו כן הריבוי הגיאומטרי של ע"ע, קטן מהריבוי האלגברי ולכן במקרה שלנו שווה ל 1.

בצורת ז'ורדן של מטר' הבלוק הגדול ביותר של ע"ע <math>\lambda</math> הוא החזקה של <math>x-\lambda</math> בפולינום המינימלי, ומספר הבלוקים שבאלכסונם <math>\lambda</math> שווה לריבוי הגיאמורי של <math>\lambda</math>.

שני הערכים הנ"ל במקרה שלנו שווים ל 1, ולכן צורת ז'ורדן של A היא מטר' בלוקים-אלכסונית עם בלוקים מגודל 1 (כל בלוק פעם אחת בלבד), ז"א שעל האלכסון שלה מופיעים כל הע"ע של A בדיוק פעם אחת. [ז"א ש A לכסינה]

אם נהיה יותר ספיציפים: יהיו <math>\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n</math> שורשי היחידה מסדר n, אז צורת ז'ורדן של A היא: <math>\begin{pmatrix}
\alpha_1 & 0 & ... & 0\\ 
0 & \alpha_2 & ... & 0\\ 
... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & \alpha_n
\end{pmatrix}</math>
(כפי שלמדנו, סדר הבלוקים לא משנה)

'''הערה:''' החישוב שביצענו על מנת למצוא את הפולינום האופייני של A לא תקף עבור n=1,2 ולכן במקרים אלו צריך חישוב מיוחד שאכן נותן את הפולינומים <math>x-1,x^{2}-1</math> בהתאמה, מה שמתאים להמשך הפתרון.