אורך עקומה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־22:18, 7 בפברואר 2017

2017-02-07T22:18:10Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:18, 7 בפברואר 2017
שורה 1:		שורה 1:
	[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|שמאל\|300px]]		[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|שמאל\|300px]]

	תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).		תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math> . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

	עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:		עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math> , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

	<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}</math>		<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}</math>

יהודה שמחה ב־22:17, 7 בפברואר 2017

2017-02-07T22:17:48Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:17, 7 בפברואר 2017
שורה 1:		שורה 1:
	[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|~~ימין~~\|300px]]		[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|שמאל\|300px]]

	תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).		תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
שורה 5:		שורה 5:
	עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:		עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

	~~{{left\|~~<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}		<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\cdot(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\cdot\Delta x_k\end{align}</math>

	כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.		כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

	הגענו לסכום ~~רימן~~ עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.		הגענו לסכום רימאן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> . כיון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

	על כן סכומי ~~רימן~~ אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.		על כן סכומי רימאן אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־16:57, 27 בינואר 2016

2016-01-27T16:57:32Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:57, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|ימין\|300px]]		[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|ימין\|300px]]

	תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).		תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

	עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,~~...~~,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:		עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

	{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}

			{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}

	כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.		כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

			הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

	הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיוון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.		על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

	על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ ~~\mathrm~~ dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עמנואל: משעמם לי.

2012-04-28T18:53:30Z

משעמם לי.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:53, 28 באפריל 2012
שורה 1:		שורה 1:
	[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|ימין\|300px]]		[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|ימין\|300px]]

	תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום ~~הקוים~~ הכחולים בציור).		תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

	עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...,x_n\}</math> הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:		עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:

	{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}		{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "300px תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור $[a,b]$ . נקרב את א..."

2012-04-28T18:41:57Z

יצירת דף עם התוכן "ימין|300px תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את א..."

דף חדש

[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקוים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...,x_n\}</math> הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:

{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}

כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיוון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

[[קטגוריה:אינפי]]

אורך עקומה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־22:18, 7 בפברואר 2017

יהודה שמחה ב־22:17, 7 בפברואר 2017

יהודה שמחה ב־16:57, 27 בינואר 2016

עמנואל: משעמם לי.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "300px תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור [a,b]. נקרב את א..."

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "300px תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור $[a,b]$ . נקרב את א..."